Проволочная скобка на нити

[fred1996]

Пока зубодробительные задачки кончились, предложу задачки с одной республиканской Олимпиады.

Лёгкая нерастяжимая нить длиной $2L = 2m$ удерживается за её концы так, что они находятся на одной высоте рядом друг с другом. На нити висит проволочная скобка в виде перевёрнутой буквы U. Масса скобки $m=1gr$ . Нить выдерживает максимальную растягивающую силу $F = 5 N$. ($F >> mg$).
Концы нити начинают перемещать в противоположных горизонтальных направлениях с одинаковыми скоростями $v = 1 m/s$. В какой-то момент нить не
выдерживает и рвётся. На какую максимальную высоту от своего положения в момент разрыва нити взлетит скобка? Сопротивлением воздуха пренебречь.

[EUgeneUS]

Записываем уравнение кинематической связи:
$h(t) = L(1 - \sqrt{1 - (a(t)/L)^2})$
Дважды дифференцируем по времени, получаем ускорение точки подвеса. Далее - понятно.

[fred1996]

EUgeneUS
Ваше кинематическое уравнение в упор не понял. Ну да ладно.
А как вы решаете потом полученное уравнение 4-й степени? Или у вас оно получается другое?

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1560004 писал(а):

А как вы решаете потом полученное уравнение 4-й степени?

Откуда там четвертая степень?
У меня получается, если по пути не ошибся

(Оффтоп)

$$h=\frac{v^2}{2g}\left(\sqrt{\frac{2FL}{mv^2}}-1\right).$$

[EUgeneUS]

fred1996 в сообщении #1560004 писал(а):

А как вы решаете потом полученное уравнение 4-й степени? Или у вас оно получается другое?

Никак не буду. Воспользуюсь вот этим:

fred1996 в сообщении #1559973 писал(а):

$F = 5 N$. ($F >> mg$).

И выкину член с $1/x$. Можно числа подставаить, тогда получится:
$5/x + 1/x^4 = 5000$ и совсем легко показать, что первый член много меньше второго.

DimaM
Ответ должен представлять сумму высот:
1. До обрыва нити. Этот член не будет зависеть от $g$
2. Высоты свободного полета. Этот член будет пропорционален $1/g$.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1560060 писал(а):

Ответ должен представлять сумму высот:
1. До обрыва нити. Этот член не будет зависеть от $g$
2. Высоты свободного полета. Этот член будет пропорционален $1/g$.

Вопрос задачи относится только ко второму члену.

[Ignatovich]

DimaM
У меня также, если единицу в скобках отбросить, что оправдано при заданных параметрах.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1560062 писал(а):

Вопрос задачи относится только ко второму члену.

Как обычно, слона-то я и не приметил .
Тогда у меня также, но без $-1$, это даёт ошибку ровно в 1%.

[DimaM]

Ignatovich
EUgeneUS
А можете ход вашего решения показать?
Я, оказывается, забыл учесть $mg$ в сумме сил, действующих в момент разрыва. С ним действительно уравнение четвертой степени выходит (но этот член маленький). А вы еще пренебрегли отличием косинуса от единицы?

[Ignatovich]

DimaM
Да, силой тяжести до разрыва нити пренебрегал и в момент разрыва считал, что нить практически горизонтальна (косинус малого угла равен 1). В рамках такого приближения получил:
$h=\frac{\upsilon^2}{2g}(\sqrt{\frac{2FL}{m\upsilon^2}+\frac{1}{2}}-\frac{1}{2})$
1/2 можно отбросить. Это соответствует тому, что начальная скорость "снаряда" значительно больше горизонтальной скорости точек крепления тетивы.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1560067 писал(а):

А вы еще пренебрегли отличием косинуса от единицы?

Скорее отличием синуса от единицы. Косинус как раз небольшой получается (около 0.1).
Скорость точки подвеса равна $V = v \tg \alpha$, что почти очевидно из чертежа.
Но у меня после дифференцирования синус вверху потерялся.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1560073 писал(а):

Скорее отличием синуса от единицы. Косинус как раз небольшой получается (около 0.1).

Ну, это какой угол выбрать. Я брал между нитью и горизонталью.