Простое и непротиворечивое доказательство ВТФ

[Alex Skabrowsky]

В статье приводится простое доказательство великой теоремы Ферма. Определяется метод доказательства, доказываются частные случаи для $n=3$ и $n=4$, приводится общее доказательство для любых $n>2$

Теорема.
Для любого натурального числа $n>2$ уравнение

$$ x^2+y^2=z^2 \qquad (1) $$

не имеет решений в целых ненулевых $x,y,z$.

Метод.

Вначале проведём алгебраические преобразования уравнения (1), позволяющие упростить рассуждения: разделим левую и правую часть уравнения (1) на $y^n$:

$$\left(\frac{x}{y}\right)^n+1=\left(\frac{z}{y}\right)^n \Leftrightarrow \left(\frac{z}{y}\right)^n-\left(\frac{x}{y}\right)^n=1.$$

Для простоты примем, что $x,y,z$ - натуральные (для отрицательных целых доказательство не меняется), и введём обозначения: пусть $a=\frac{x}{y},\ \Delta=\frac{z-x}{y}$; тогда $\frac{z}{y}=(a+\Delta)$, и последнее уравнение запишется в виде:

$$ (a+\Delta)^n-a^n=1 $$

или

$$ (a+\Delta)^n-a^n-1=0 \qquad (2) $$

Очевидно, что уравнение (2) тождественно уравнению (1), при этом $a$ и $\Delta$ являются рациональными положительными числами:

$$ a\in Q, \ \Delta\in Q \qquad (3)$$

$$ a>0, \ \Delta >0 \qquad (4)$$

Таким образом, доказательство Теоремы сводится к доказательству того, что уравнение (2) не имеет решений в положительных рациональных $a$ и $\Delta$ при $n>2$.


Сначала рассмотрим два конкретных случая.
$n=3$
Уравнение (2) принимает вид $(a+\Delta)^3-a^3-1=0$. Раскрыв скобки получим:

$$ \Delta^3+3a\Delta^2+3a^2\Delta-1=0 \qquad (5) $$

Это приведённое кубическое уравнение относительно $\Delta$. Согласно теоремы Безу, если это уравнение имеет рациональные корни, то $\Delta$ может принимать значения 1 или -1. Отрицательное значение не соответствует условию (4). Поэтому, чтобы получить значения для $a$, подставим в (5) $\Delta=1$. Получим уравнение $3a+3a^2=0$, откуда $a$ может принимать два значения: $a_1=-1, a_2=0$. Оба значения не соответствуют условию (4), то есть при $n=3$ уравнение (5) не имеет положительных рациональных корней. Это означает, что нет таких натуральных $x,y,z$, чтобы выполнялось равенство (1). Доказано.
$n=4$
Подставив в уравнение (2) значение $n=4$ получим:
$(a+\Delta)^4-a^4-1=0$ или:

$$ \Delta^4+4a\Delta^3+6a^2\Delta^2+4a^3\Delta-1=0 \qquad (6) $$

Это приведённое уравнение четвёртой степени относительно $\Delta$. Аналогично предыдущему случаю, согласно теоремы Безу, $\Delta$ может принимать только два рациональных значения 1 и -1, из которых по условию (4) нам подходит только одно - $\Delta=1$. Подставив его в уравнение (6) получим кубическое уравнение относительно $a$: $4a^3+6a^2+4a=0$. Очевидно, что положительных рациональных корней у этого уравнения нет. А, значит, и нет таких натуральных $x,y,z$, чтобы выполнялось равенство (1). Доказано.

Аналогичным образом можно проверить справедливость Теоремы и для других значений $n$.

В общем случае:
1) Для любых значений $n>2$ уравнение (2) $(a+\Delta)^n-a^n-1=0$ можно преобразовать к виду:

$$ C_n^{1}a^{n-1}\Delta^1+C_n^{2}a^{n-2}\Delta^2+...+C_n^{n-1}a^{1}\Delta^{n-1}+C_n^{n}a^{0}\Delta^{n}-1=0, $$

где $ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ - Биноминальный коэффициент.
Учитывая, что $C_n^n=1$ и переставив слагаемые в обратном порядке, получаем более очевидную запись приведённого уравнения $n$-ой степени относительно $\Delta$:

$$ \Delta^n+C_n^{n-1}a\Delta^{n-1}+...+C_n^{2}a^{n-2}\Delta^2+C_n^{1}a^{n-1}\Delta-1=0. \qquad (7) $$

2) Доказательство Теоремы сводится к тому, чтобы доказать отсутствие положительных рациональных решений уравнения (7), то есть таких $a$ и $\Delta$, которые удовлетворяли бы условиям (3) и (4): не существует рациональных положительных $a$ и $\Delta$ - не существует и натуральных $x,y$,$z$.
3) Решая уравнение (7) относительно $\Delta$ и принимая во внимание, что высший коэффициент и свободный член уравнения (7) равны 1, согласно теоремы Безу получаем единственное значение для $\Delta$, удовлетворяющее условиям (3) и (4) - это $\Delta=1$.
4) При подстановке $\Delta=1$ в уравнение (7) получаем уравнение $(n-1)$-ой степени относительно $a$ вида:

$$ C_n^{1}a^{n-1}+C_n^{2}a^{n-2}+...+C_n^{n-1}a=0. \qquad (8) $$

Так как Биномиальные коэффициенты положительны и по условию (4) $a>0$, то очевидно, что уравнение (8) не имеет положительных рациональных корней при любом $n>2$. А это означает, что и уравнение (2) не может иметь рациональные положительные корни. То есть не существует таких $a$ и $\Delta$, которые удовлетворяли бы условиям (3), (4) и для которых выполнялось бы равенство (2). С учетом принятых изначально обозначений $a=\frac{x}{y},\ \Delta=\frac{z-x}{y}$, из этого следует, что не существует натуральных $x,y$ и $z$, удовлетворяющих условию (1) при $n>2$.
Что и требовалось доказать.

Доказательство приведено для натуральных $x,y,z$. В случае отрицательных целых чисел доказательство то же самое, так как с отрицательными числами уравнение всегда можно свести к виду (1).

[nnosipov]

Alex Skabrowsky в сообщении #1559822 писал(а):

Согласно теоремы Безу, если это уравнение имеет рациональные корни, то $\Delta$ может принимать значения 1 или -1.

Но коэффициенты уравнения (5) рациональные (вообще говоря, нецелые), поэтому утверждение о том, что $\Delta=\pm 1$, нельзя считать доказанным.

[iifat]

На всякий случай добавлю: $(x-\frac12)(x-1-i)(x-1+i)=x^3-\frac52x^2+3x-1$