Связность шара без одной точки

[YuryS]

Добрый день !
Простой вопрос - подскажите, в каком направлении думать, чтобы показать, не используя линейную связность, связность шара
$B = \left\lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < 1 \right\rbrace$
без одной точки ?
Т.е., как показать связность множества $B - \left\lbrace a \right\rbrace$ для любого $a \in B$ ?

[Padawan]

YuryS в сообщении #1559563 писал(а):

не используя линейную связность

Чем вызвано столь странное требование?

[YuryS]

Есть известный учебник "General Topology: An Introduction", Tom Richmond
https://books.google.nl/books?id=jPgdEA ... &q&f=false
где после Раздела 4.1 "Connectnedness" идет Упражнение 12

12. Identify the cut points and non-cut points in the connected subspaces of the Euclidean
plane given below.
(a) $ \left\lbrace (x, y) : x^2 + y^2 \leqslant 1 \right\rbrace $

После этого идет Раздел 4.2 "Path connectedness" ...

Случай, когда a = (0,0) прост,
см. https://math.stackexchange.com/question ... dness?rq=1

С другой стороны, есть более общее утверждение -

More generally, if $ A \subseteq \mathbb{R}^2 $ is countable, then $ \mathbb{R}^2 \backslash A $ is connected.
(http://www.math.toronto.edu/ivan/mat327 ... nected.pdf)
которое, по-моему, доказывается без использования линейной связности,
и которое, возможно, применимо и в данном случае.

Но хотелось бы, для начала, разобраться с частным случаем ...

[vpb]

Понятна ситуация. От вас, видно, хотят применения теоремы о том, что непрерывный образ связного пространства связен. Ну, средствами ТФКП несложно построить отображение из связного множества (типа полоса или полуплоскость, которые связны по другим теоремам из того параграфа) на круг без точки. Или не парьте себе голову и используйте таки линейную связность.

-- 07.07.2022, 15:57 --

Впрочем, построить такое отображение и без ТФКП легко. Даже проще. Вот, так и надо понимать задачу: не "доказать связность круга без одной точки", а "построить отображение из связного множества на круг без (произвольно выбранной) точки".

З.Ы. А, на MSE практически то же и написано ...

[YuryS]

vpb в сообщении #1559655 писал(а):

"построить отображение из связного множества на круг без (произвольно выбранной) точки".

Да, то, что нужно найти такое отображение, ясно из обсуждения на MSE.
Однако, такое отображение должно быть непрерывным.
Если взять, например, (связный) круг без центральной точки (0,0),
то его легко отобразить сюръективно в круг без какой-либо (произвольной) точки.
Но такое отображение не будет непрерывным.
Видимо, здесь нужно какое-то хитрое отображение.
Идей на этот счет у меня пока нет ...

[YuryS]

Решил эту задачу доказательства связности круга без точки, не используя линейную связность, в 2 шага :

1) доказываем связность прямоугольника без точки $ [0,1) \times [0, 2\pi) - \left\lbrace(r, \varphi)\right\rbrace $,
2) отображаем непрерывным, сюръективным способом такой прямоугольник в круг без соответствующей точки.

Связность прямоугольника без точки вытекает из следующей леммы:
если $A$ есть собственное подмножество множества $X$,
и $B$ есть собственное подмножество множества $Y$,
и $X$ и $Y$ являются связными множествами,
то множество $(X \times Y) - (A \times B) $ является связным.

Доказательство леммы, в свою очередь, опирается на тот факт, что
объединение совокупности связных подпространств, имеющих общую точку,
является связным.

Замечания, претензии к этому решению приветствуются ...

[vpb]

Нормальное решение. Я, правда, другое предполагал (исходящее из того, что для окружности, немного сдвинутой по горизонтали, легко написать уравнение в полярных координатах).

[YuryS]

Можно исходное решение еще немного упростить -
рассматривать круг без точки как множество, состоящее из точек,
заданных в полярных координатах.
Тогда задача сводится к
доказательству связности прямоугольника без точки точки $ [0,1) \times [0, 2\pi) - \left\lbrace(r, \varphi)\right\rbrace $ без использования каких-либо непрерывных отображений.