Доказательство теоремы об аддитивности интеграла

[EminentVictorians]

Otta в сообщении #1559518 писал(а):

Опять критерий Лебега. Куда Вы тащите пушку, если рогатки достаточно? Вы уже доказали критерий Лебега?

Я просто продемонстрировать, что даже интегрируемость на большом отрезке не нужна. Но если она есть в условии, пусть так. Это все лежит в стороне от основного вопроса. Критерий Лебега считаем, что есть, несмотря на то, что я его не доказал. Кстати, даже по учебнику Зорича он уже есть.

xagiwo в сообщении #1559519 писал(а):

Левую часть последнего равенства (в которое, я надеюсь, Вы верите) можно сделать отличающейся от левой части равенства (3) меньше чем на $\varepsilon$.

Нельзя так делать. Последнее равенство, которое вот это

EminentVictorians в сообщении #1559482 писал(а):

$$\sigma(f, P, \xi) = \sigma(f, P', \xi') + \sigma(f, P'', \xi)''.$$

справедливо не для всех разбиений, а только для самых для нас удобных. А в интеграле Римана разбиения произвольные, поэтому так просто Вы это равенство использовать не можете.

[xagiwo]

EminentVictorians в сообщении #1559522 писал(а):

справедливо не для всех разбиений, а только для самых для нас удобных

Главное, что среди них есть те, у которых диаметр меньше $\delta$.

EminentVictorians в сообщении #1559522 писал(а):

А в интеграле Римана разбиения произвольные, поэтому так просто Вы это равенство использовать не можете.

"Мы доказали для любого $x$, а вы почему-то взяли $x=2$. Но ведь $2$ — не любое число..."

[EminentVictorians]

xagiwo в сообщении #1559525 писал(а):

Главное, что среди них есть те, у которых диаметр меньше $\delta$.

Вспомните определение предела по базе. Там есть слова "для любого элемента элемента базы выполняется соотношение...". Да, для части разбиений соотношение действительно выполняется. Но не доказано, что для всех.

xagiwo в сообщении #1559525 писал(а):

"Мы доказали для любого $x$, а вы почему-то взяли $x=2$. Но ведь $2$ — не любое число..."

На Вашем примере: нам надо доказать для любого $x$, а Вы доказали лишь для $x = 2$.

UPD. Не для любого элемента базы, а правильнее сказать так: существует элемент базы, такой, что для его образа выполняется соотношение. Образ -
это про все, грубо говоря, элементы элемента базы. Так правильнее.

[Otta]

EminentVictorians
Вам что осталось доказать?

EminentVictorians в сообщении #1559522 писал(а):

Я просто продемонстрировать, что даже интегрируемость на большом отрезке не нужна. Но если она есть в условии, пусть так. Это все лежит в стороне от основного вопроса. Критерий Лебега считаем, что есть, несмотря на то, что я его не доказал. Кстати, даже по учебнику Зорича он уже есть.

Он там всегда был. Без доказательства.

EminentVictorians в сообщении #1559522 писал(а):

Я просто продемонстрировать, что даже интегрируемость на большом отрезке не нужна.

Нужна, потому что эта лемма в норме доказывается в обе стороны.
Какой вопрос основной, не очень ясно.

[EminentVictorians]

Otta в сообщении #1559528 писал(а):

Вам что осталось доказать?

Я свое доказательство привел в стартовом посте. Там все в порядке, никаких хвостов нету. Основной вопрос про то, корректно ли доказательство из учебника. Я думаю, что нет.

Otta в сообщении #1559528 писал(а):

Нужна, потому что эта лемма в норме доказывается в обе стороны.

То, что если функция интегрируема на отрезке, то она интегрируема и на любом его подотрезке, где-то за несколько страниц до этого уже было доказано. В этой лемме речь конкретно про соотношение для интегралов.

Otta в сообщении #1559528 писал(а):

Он там всегда был. Без доказательства.

Вот я и говорю, что это условие (про интегрируемость функции $f$ на большом отрезке) можно без ущерба из формулировки леммы убрать. Давайте лучше забудем про это, это несущественно.

[xagiwo]

EminentVictorians в сообщении #1559526 писал(а):

Вспомните определение предела по базе. Там есть слова "для любого элемента элемента базы выполняется соотношение...". Да, для части разбиений соотношение действительно выполняется. Но не доказано, что для всех.

Так мы не доказываем существование предела, оно нам дано.

EminentVictorians в сообщении #1559526 писал(а):

нам надо доказать для любого $x$

А что это за утверждение, которое, по Вашему, мы должны доказать "для любого $x$"? Я вот вижу, что мы хотим доказать что-то про крючочки $\int\limits_{a}^{b}f(x) dx$, $\int\limits_{b}^{c}f(x) dx$ и $\int\limits_{a}^{c}f(x) dx$, по модулю той информации, что нам изначально дали про эти крючочки — например, то, что они слабо отличаются от всех римановых сумм при малом диаметре разбиения. Вот этим последним фактом мы пользуемся, правильным образом выбирая римановы суммы так, чтобы была и близость к нашим крючочкам, и нужное нам соотношение.

[Otta]

EminentVictorians
Вы не ответили на вопрос, а он был важен. Зря.

[EminentVictorians]

Otta в сообщении #1559531 писал(а):

Вы не ответили на вопрос, а он был важен. Зря.

Я там дописал еще 1 ответ третьей цитатой.

[Otta]

EminentVictorians
Вы все равно не ответили на вопрос. На мои вопросы отвечает xagiwo, но Вы его, похоже, не читаете.

-- 06.07.2022, 14:57 --

Так я повторю. Важные вопросы легко пропускаются.

Otta в сообщении #1559528 писал(а):

Вам что осталось доказать?

[EminentVictorians]

xagiwo в сообщении #1559530 писал(а):

Так мы не доказываем существование предела, оно нам дано.

Это я понимаю. Смотрите, как надо правильно: есть предел по "толстой" (большой) базе. Мы не знаем, какой он, но хотим доказать, что он равен $A + B$. Далее мы видим, что есть предел по "тонкой" базе и он равен $A + B$. Из этого делаем вывод, что и по толстой базе он равен $A + B$. Но этот вывод нельзя сделать без теоремы о сравнимости баз. А ее в учебнике нету, поэтому я и считаю доказательство некорректным.

По-другому, можно еще так. Предположим, что предел по основной базе не равен $A + B$, а равен какому-то $C \ne A + B$. Выбираем непересекающиеся окрестности $C$ и $A+B$. Потом показываем, что каким бы малым ни был бы элемент базы, в нем найдется размеченное разбиение (которое элемент элемента базы), образ которого не лежит в $C$, а значит $C$ не может являться пределом по базе. В виду произвольности $C$ получаем, что единственный вариант, который нам подходит - это $A + B$. А предел есть, значит он равен $A + B$. Но это не то же самое, что в учебнике. Там вообще метода от противного нету. У Зорича прямое доказательство.

Otta в сообщении #1559528 писал(а):

Вам что осталось доказать?

Не знаю, я уж всеми доступными мне способами попытался объяснить, что я имею в виду.

[Otta]

EminentVictorians в сообщении #1559534 писал(а):

Не знаю, я уж всеми доступными мне способами попытался объяснить, что я имею в виду.

И Вы считаете, что вот это ответ?
Не надо объяснять, надо выбросить все лишнее и оставить только то, что нужно доказать.
А что есть. Есть три интегральных суммы. Предел одной равен $I_1$, предел второй равен $I_2$ (ранее доказано, что оба существуют).
Известно так же, что есть предел третьей интегральной суммы. Надо доказать, что он равен $I_1+I_2$.
Поскольку предел есть, то мы не обязаны смотреть произвольные разбиения, можем посмотреть на избранные, и если их диаметр стремится к нулю, то предел должен быть тот же, в силу единственности.

Мы так и поступаем всегда, когда на практике считаем значение предела интегральной суммы, не замечали, нет? не обращали внимание, что там совершенно конкретное разбиение и отмеченные точки? а почему тогда интеграл получается?

[EminentVictorians]

Otta в сообщении #1559539 писал(а):

Поскольку предел есть, то мы не обязаны смотреть произвольные разбиения, можем посмотреть на избранные, и если их диаметр стремится к нулю, то предел должен быть тот же, в силу единственности.

В силу теоремы о сравнении баз, а не в силу единственности.

Есть 2 варианта: либо мы можем сделать доказательство леммы из Зорича от противного (то, что я написал своим предыдущим постом). Либо можем засунуть метод от противного и единственность предела в теорему о сравнении баз. И тогда да - доказательство леммы будет прямое. Вы и Зорич делаете прямое доказательство без теоремы о сравнении баз. На мой взгляд, это невозможно.

Otta в сообщении #1559539 писал(а):

Мы так и поступаем всегда, когда на практике считаем значение предела интегральной суммы, не замечали, нет?

Конечно. И точно так же на практике мы считаем предел последовательности, выбирая какую-то ее подпоследовательность, наиболее удобную нам. Но чтобы обосновать, что получили мы именно то, что нам надо - нужна теорема о сравнении баз (в частном случае теорема о пределе подпоследовательности). Разве я не прав?...

-- 06.07.2022, 13:34 --

EminentVictorians в сообщении #1559541 писал(а):

На мой взгляд, это невозможно.

Точнее не так. Прямое доказательство возможно - это мое из стартового поста. Просто оно не самое легкое получается. Я имел в виду, что невозможно получить легкое прямое доказательство (а у Зорича именно такое).

[Otta]

EminentVictorians в сообщении #1559541 писал(а):

Конечно. И точно так же на практике мы считаем предел последовательности, выбирая какую-то ее подпоследовательность, наиболее удобную нам. Но чтобы обосновать, что получили мы именно то, что нам надо - нужна теорема о сравнении баз (в частном случае теорема о пределе подпоследовательности). Разве я не прав?...

Вы неправы. Интеграл существует, значит, предел равен, чему надо, когда диаметр разбиения стремится к нулю произвольным образом, значит, если устремить его туда каким-то заранее выбранным образом, беря особые разбиения, получится все еще то же самое значение.
Поэтому функция, к интегралу от которой все сводится, должна быть интегрируема на отрезке. Это надо проверять.

[EminentVictorians]

Otta в сообщении #1559543 писал(а):

Вы неправы. Интеграл существует, значит, предел равен, чему надо, когда диаметр разбиения стремится к нулю произвольным образом, значит, если устремить его туда каким-то заранее выбранным образом, беря особые разбиения, получится все еще то же самое значение.

Дак это и есть теорема о сравнении баз. Я же говорю: я точно так же рассуждаю. Но при этом честно себе признаюсь, что использую теорему о сравнении баз. А Вы почему-то ее не видите.

[Otta]

EminentVictorians в сообщении #1559545 писал(а):

Дак это и есть теорема о сравнении баз. Я же говорю: я точно так же рассуждаю. Но при этом честно себе признаюсь, что использую теорему о сравнении баз. А Вы почему-то ее не видите.

Да Христа ради.
Но справедливости для, давайте вспомним что:
1. Про сравнение баз, когда я его впервые упомянула в этой теме, Вы не слышали-не видели-не читали-не помнили где.
2. и вдруг выясняется, что это Вы меня убеждаете, а я не вижу.

Положим, могу напрячься и увидеть. Но вижу, что легко можно обойтись без. Если хочется сравнивать базы - заводите корректно две базы, сравнивайте, ссылайтесь на нужные результаты (когда найдете).
Я на этом Вас покину. Вы и сами неплохо справляетесь.