Доказательство теоремы об аддитивности интеграла

[EminentVictorians]

Зорич, стр.405 писал(а):

Лемма 1.Если $a<b<c$ и $f \in R[a,c]$, то $f|_{[a,b]} \in R[a,b]$, $f|_{[b,c]} \in R[b,c]$ и имеет место равенство

$$\int\limits_{a}^{c}f(x) dx = \int\limits_{a}^{b}f(x) dx + \int\limits_{b}^{c}f(x) dx \quad \quad \quad (3)$$

Отметим прежде всего, что интегрируемость ограничений функции $f$ на отрезки $[a, b]$ и $[b, c]$ гарантируется утверждением 4 из предыдущего параграфа.
Далее, поскольку $f \in R[a,c]$, то при вычислении интеграла $\int\limits_{a}^{c}f(x) dx$ как предела интегральных сумм мы вправе выбирать любые удобные нам разбиения отрезка $[a, c]$. В качестве таковых будем сейчас рассматривать только те разбиения $P$ отрезка $[a,c]$, которые содержат точку $b$. Каждое такое разбиение с отмеченными точками $(P, \xi)$, очевидно, порождает разбиения $(P', \xi')$ и $(P'', \xi'')$ отрезков $[a, b]$ и $[b, c]$ соответственно, причем $P = P' \cup P''$ и $\xi = \xi' \cup \xi''$.
Но тогда имеет место следующее равенство между соответствующими интегральными суммами:

$$\sigma(f, P, \xi) = \sigma(f, P', \xi') + \sigma(f, P'', \xi)''.$$

Поскольку $\lambda(P') \leqslant \lambda(P)$ и $\lambda(P'') \leqslant \lambda(P)$ то при достаточно малом $\lambda(P)$ каждая из написанных интегральных сумм близка к соответствующему интегралу из (3). Таким образом, равенство (3) действительно имеет место.

Как то странно, Зорич пишет:

Цитата:

...мы вправе выбирать любые удобные нам разбиения отрезка $[a, c]$. В качестве таковых будем сейчас рассматривать только те разбиения $P$ отрезка $[a,c]$, которые содержат точку $b$.

Но в определении интеграла Римана разбиения именно что произвольные. А тут рассматривается только часть из них.

Когда я пытался доказать эту лемму, для меня самым проблемным местом была как раз таки точка $b$ в том смысле, что она может "рассекать" один из отрезков разбиения на 2 части. Я доказывал следующим образом.





Положим $\int\limits_{a}^{b}f(x) dx = A$ и $\int\limits_{b}^{c}f(x) dx = B$. Выберем произвольную $\varepsilon$-окрестность точки $A + B$. Далее выберем $\frac{\varepsilon}{3}$ окрестности точек $A$ и $B$.

Пусть $\delta_0$ такова, что $\omega(f)\cdot \delta_0 < \frac{\varepsilon}{3}$; $\delta_1$ такова, что для любого разбиения $P$ отрезка $[a, b]$ с параметром разбиения меньшим $\delta_1$ выполянется $|s(P) - A| < \frac{\varepsilon}{3}$; $\delta_2$ такова, что для любого разбиения $P$ отрезка $[b, c]$ с параметром разбиения меньшим $\delta_2$ выполянется $|s(P) - B| < \frac{\varepsilon}{3}$(где $s(P)$ - нижняя сумма Дарбу, соответствующая этому разбиению; $\omega(f)$ - колебание функции $f$ на всем отрезке $[a, b]$). Положим $\delta = min(\delta_0, \delta_1, \delta_2)$. Возьмем произвольное разбиение $P$ отрезка $[a, c]$. Если точка $b$ является одной из точек разбиения $P$, то все тривиально. Рассмотрим случай, когда она рассекает некоторый отрезок из $P$ (назовем его $\Delta_ n$) на 2 части $\Delta_ {n1}$ и $\Delta_ {n2}$. Без ограничения общности можно считать, что $\inf \Delta_ n = \inf \Delta_ {n1}$. (и еще одно замечание: под $\Delta_ {j}$ будем в зависимости от контекста понимать либо сам отрезок (это где про инфимум его образа), либо его длину (там, где умножение) )

Тогда $|s(P) - (A + B)| = |\inf f(\Delta_ {1}) \cdot \Delta_ 1 + ... + \inf f(\Delta_ {n-1}) \cdot \Delta_ {n-1}$ $+$ $\inf f(\Delta_ {n}) \cdot \Delta_ n + ... +\inf f(\Delta_ {s}) \cdot \Delta_ s - (A + B)|$ (всего $s$ отрезков в разбиении $P$)

Учитывая, что

$$\inf f(\Delta_ {n}) \cdot \Delta_ n = \inf f(\Delta_ {n1}) \cdot \Delta_ {n1} + \inf f(\Delta_ {n1}) \cdot \Delta_ {n2} = $$

$$\inf f(\Delta_ {n1}) \cdot \Delta_ {n1} + (\inf f(\Delta_ {n2}) + (\inf f(\Delta_ {n1}) - \inf f(\Delta_ {n2})) \cdot \Delta_ {n2} = $$

$$\inf f(\Delta_ {n1}) \cdot \Delta_ {n1} + \inf f(\Delta_ {n2})\Delta_ {n2} + (\inf f(\Delta_ {n1}) - \inf f(\Delta_ {n2})) \cdot \Delta_ {n2}$$

получаем следующее:

$$|s(P) - (A + B)| = |\inf f(\Delta_ {1}) \cdot \Delta_ 1 + ... + \inf f(\Delta_ {n-1}) \cdot \Delta_ {n-1} +\inf f(\Delta_ {n}) \cdot \Delta_ n + ... +\inf f(\Delta_ {s}) \cdot \Delta_ s - (A + B)| = $$

$$=|(\inf f(\Delta_ {1}) \cdot \Delta_ 1 + ... + \inf f(\Delta_ {n-1}) \cdot \Delta_ {n-1}+ \inf f(\Delta_ {n1}) \cdot \Delta_ {n1} - A) + (\inf f(\Delta_ {n2})\Delta_ {n2} + ... + \inf f(\Delta_ {s}) \cdot \Delta_ s - B) + $$

$$+(\inf f(\Delta_ {n1}) - \inf f(\Delta_ {n2})) \cdot \Delta_ {n2}| \leqslant$$

$$\leqslant |\inf f(\Delta_ {1}) \cdot \Delta_ 1 + ... + \inf f(\Delta_ {n-1}) \cdot \Delta_ {n-1} + \inf f(\Delta_ {n1}) \cdot \Delta_ {n1} - A| + $$

$$+|\inf f(\Delta_ {n2})\Delta_ {n2} + ... + \inf f(\Delta_ {s}) \cdot \Delta_ s - B| + $$

$$ +|(\inf f(\Delta_ {n1}) - \inf f(\Delta_ {n2})) \cdot \Delta_ {n2}| < $$

$$ < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$$

Получилось, что нижний интеграл Дарбу по отрезку $[a, c]$ равен $A + B$. Далее аналогично доказываем, что верхний интеграл Дарбу по отрезку $[a, c]$ равен $A + B$. Из равенства и совпадения интегралов Дарбу получаем, что $\int\limits_{a}^{c}f(x) dx = A + B$, что и требовалось доказать.




Я бы хотел понять, точно ли доказательство из учебника корректное. Мне кажется, что нет, т.к. рассматривать не все разбиения, а только те, которые проще всего - некорректно.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1559482 писал(а):

Но в определении интеграла Римана разбиения именно что произвольные. А тут рассматривается только часть из них.

Предел по разбиениям, содержащим $b$, какой нужно. А интегрируемость гарантирует, что предел по всем разбиениям есть. Т.е. для любого достаточно мелкого разбиения - в том числе содержащего $b$ - интегральная сумма будет слабо отличаться от значения интеграла.

[Otta]

По-другому скажу, зря писала, что ли )

EminentVictorians в сообщении #1559482 писал(а):

Но в определении интеграла Римана разбиения именно что произвольные. А тут рассматривается только часть из них.

Существование интеграла в левой части есть по условию, и значит, существует предел $A$ интегральных сумм по всем разбиениям, диаметр которых стремится к нулю, вне зависимости от выбора отмеченных точек. Значит, (как частный случай), предел по таким разбиениям, но с одной фиксированной отмеченной точкой разбиения $b$ тоже существует и совпадает со значением $A$.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1559484 писал(а):

Предел по разбиениям, содержащим $b$, какой нужно. А интегрируемость гарантирует, что предел по всем разбиениям есть.

Идея как с подпоследовательностями: если последовательность сходится и предел какой-то ее подпоследовательности равен $A$, то и у нее самой предел равен $A$. Это я понимаю, у меня эта идея самая первая была.

Для подпоследовательностей мы это знаем. Но тут то база - более общий случай. "Подбаз" в учебнике не вводилось (и я не знаю, существует ли сей термин в природе)

Otta в сообщении #1559485 писал(а):

Значит, (как частный случай), предел по таким разбиениям, но с одной фиксированной отмеченной точкой $b$ тоже существует и совпадает со значением $A$.

Вот мне этот логический переход не нравится. Здесь же уже идет речь про другую базу - не ту, по которой существует интеграл Римана. А то, что она является, фигурально выражаясь, "подбазой" - это надо явно как-то сказать и сформулировать.

[Otta]

EminentVictorians в сообщении #1559482 писал(а):

Поскольку $\lambda(P') \leqslant \lambda(P)$ и $\lambda(P'') \leqslant \lambda(P)$ то при достаточно малом $\lambda(P)$ каждая из написанных интегральных сумм близка к соответствующему интегралу из (3).

Это место Вас не устраивает? Чем?
(Я у себя исправила выше косяк)

[EminentVictorians]

Otta в сообщении #1559488 писал(а):

Это место Вас не устраивает? Чем?

А разве Вам оно не кажется нестрогим местом, какой-то лирикой? Явно же странный текст, заметающий под ковер немаленькую часть рассуждений.

[Otta]

Не, не кажется. Зорич всю эту лирику задолго до интегралов, помнится, обосновывал, вводя сравнение баз топологии и что из существования предела по более сильной базе следует существование по более слабой. Или наоборот ) Уточните.

[EminentVictorians]

Otta в сообщении #1559490 писал(а):

Не, не кажется. Зорич всю эту лирику задолго до интегралов, помнится, обосновывал, вводя сравнение баз топологии и что из существования предела по более сильной базе следует существование по более слабой. Или наоборот ) Уточните.

Я просмотрел еще раз весь его пункт "Общее определение предела функции (предел по базе)", сравнения баз нету, да и я бы запомнил, если бы было.

[xagiwo]

EminentVictorians в сообщении #1559489 писал(а):

Явно же странный текст, заметающий под ковер немаленькую часть рассуждений.

Это просто определение предела по выбранной базе. Для любого эпсилон найдётся дельта такое, что как только диаметр разбиения меньше дельта, так сразу риманова сумма отличается от предела не больше, чем на эпсилон.

-- 06.07.2022, 11:01 --

Выбирая лямбда от пэ меньше каждой из трёх дельт (для всех интегралов это разные дельты) мы получим, что равенство (3) выполняется с точностью до триэпсилон. А раз уж эпсилон любое, то.

[EminentVictorians]

xagiwo в сообщении #1559510 писал(а):

Это просто определение предела по выбранной базе. Для любого эпсилон найдётся дельта такое, что как только диаметр разбиения меньше дельта, так сразу риманова сумма отличается от предела не больше, чем на эпсилон.

Да нет, вряд ли. В интеграле Римана разбиения размеченные и база вполне конкретная. Здесь же идея - рассматривать более тонкую базу по сравнению с базой размеченных разбиений. Вот только сравнения баз у Зорича не было, поэтому доказательство как бы некорректное.

xagiwo в сообщении #1559510 писал(а):

Выбирая лямбда от пэ меньше каждой из трёх дельт (для всех интегралов это разные дельты) мы получим, что равенство (3) выполняется с точностью до триэпсилон. А раз уж эпсилон любое, то.

А можете по-хорошему расписать? Пока я подозреваю, что Ваш способ не пройдет.

[xagiwo]

EminentVictorians в сообщении #1559511 писал(а):

Здесь же идея - рассматривать более тонкую базу по сравнению с базой размеченных разбиений

Не думаю, что автор что-то такое вкладывал. Это Вы (и Otta) придумываете, на самом деле всё проще.

EminentVictorians в сообщении #1559511 писал(а):

В интеграле Римана разбиения размеченные и база вполне конкретная.

Я про эту вполне конкретную базу и говорю. Или Вы не согласны с выписанным мною определением?

EminentVictorians в сообщении #1559511 писал(а):

А можете по-хорошему расписать? Пока я подозреваю, что Ваш способ не пройдет.

А в чём проблема?

[Otta]

xagiwo в сообщении #1559512 писал(а):

Это Вы (и Otta) придумываете, на самом деле всё проще.

Ну, я придумываю в силу запроса ТС ) меня совершенно устраивает приведенное Зоричем рассуждение и пробелов я в нем не вижу. Существование интеграла по подотрезку у него обосновывается в лемме выше по тексту.

Если очень хочется занудствовать, все изложенное в данном результате можно написать на языке эпсилон-дельта. Но и так хорошо.

[EminentVictorians]

xagiwo в сообщении #1559512 писал(а):

Я про эту вполне конкретную базу и говорю. Или Вы не согласны с выписанным мною определением?

С определением согласен (по модулю того, что у Вас в словосочетании "диаметр разбиения" пропущено слово "размеченного", но это мелочи, я понимаю, что Вы это и имели в виду). Не согласен с тем, что в том сомнительном фрагменте из учебника, как Вы пишите, "просто определение предела по выбранной базе".

xagiwo в сообщении #1559512 писал(а):

А в чём проблема?

Вот Вы выбрали произвольное размеченное разбиение с параметром $\lambda(P) < \delta$, где $\delta$ настолько маленькая, насколько Вам надо. Надо доказать, что интегральная сумма, соответствующая этому размеченному разбиению, будет отличаться от $A + B$ меньше, чем на эпсилон (или даже на триэпсилон, если Вам так удобнее). Как Вы это хотите доказать? Напишите конкретное неравенство.

Otta в сообщении #1559513 писал(а):

Существование интеграла по подотрезку у него обосновывается в лемме выше по тексту.

С этим я не спорю, здесь все в порядке. Более того, даже интегрируемость функции $f$ на всем отрезке $[a, c]$ требовать не обязательно - она тривиально из критерия Лебега получается. Но не в этом проблема-то.

Otta в сообщении #1559513 писал(а):

Если очень хочется занудствовать, все изложенное в данном результате можно написать на языке эпсилон-дельта. Но и так хорошо.

Ну, я предложил свой вариант доказательства в стартовом посте. Получилось совсем не так же легко и непринужденно, как у Зорича. Если есть вариант проще (именно через эпсилон-дэльта, а не про сравнение баз) - я бы посмотрел.

[Otta]

EminentVictorians в сообщении #1559517 писал(а):

Более того, даже интегрируемость функции $f$ на всем отрезке $[a, c]$ требовать не обязательно - она тривиально из критерия Лебега получается.

Опять критерий Лебега. Куда Вы тащите пушку, если рогатки достаточно? Вы уже доказали критерий Лебега?

[xagiwo]

EminentVictorians в сообщении #1559517 писал(а):

Надо доказать, что интегральная сумма, соответствующая этому размеченному разбиению, будет отличаться от $A + B$ меньше, чем на эпсилон

Не так. Левую часть последнего равенства (в которое, я надеюсь, Вы верите) можно сделать отличающейся от левой части равенства (3) меньше чем на $\varepsilon$. А слагаемые правой части последнего равенства можно сделать отличающимися от $A$ и $B$ меньше, чем на $\varepsilon$. Так и получается, что если последнее равенство верно, то равенство (3) верно с точностью до $3\varepsilon$