Интеграл как предел по базе

[xagiwo]

Пусть $f: A \to \mathbb{R}$, где $A$ — измеримое подмножество $\mathbb{R}$. Назовём отмеченным разбиением разбиение $A = A_1 \sqcup ... \sqcup A_n$, где все $A_i$ измеримы, вместе с набором точек $x_i \in A_i,\; i=1,..,n$, а суммой неРимана — сумму $\sum_{i=1}^n \mu(A_i) f(x_i)$.

Интегралом назовём предел сумм неРимана по базе $\mathscr{B}$, состоящей из множеств вида $B = \{T \text{ -- отмеченное разбиение} \mid T \text{ -- подразбиение } T_0\}$ для всякого (неотмеченного) разбиения $T_0$.

Есть ли название у того, что получилось? Будет ли набор интегрируемых функций больше/меньше, чем у инт-ла Лебега? Можно ли получить неинтегрируемые функции без аксиомы выбора?

[Lia]

xagiwo
Давайте как в учебниках, с примерами. Не вся терминология понятна.
(Это я пока молчу, что у такого рода определений надо много чего обосновывать.)

[xagiwo]

Lia в сообщении #1559498 писал(а):

Давайте как в учебниках, с примерами. Не вся терминология понятна.

Учебники не читал (не умею читать), но попытаюсь. При интегрировании по Риману область определения разбивается на дизъюнктные отрезки. Вопрос в том, что будет, если разбивать область определения не на отрезки, а на произвольные измеримые множества ($\mu(A_i)$ — мера кусочка). Если, как при инт. по Риману, устремлять диаметр разбиения к нулю, подозреваю, что получится просто инт-л Римана, так что приходится выкручиваться с подразбиениями (подразбиение — думаю, понятно, бьём каждое $A_i$ на объединение $A_{ij}$ и получившийся набор $A_{ij}$ и будет подразбиением).
Разницу между стремлением диаметра к нулю и базой с подразбиениями поясню: возьмём функцию Дирихле из $[0;1]$ в $\mathbb{R}$. Если устремлять диаметр разбиения к нулю, какой бы маленький диаметр мы не взяли, есть разбиение из отрезков, для которого все плохо и предела нет. Но по моей базе разбиения из отрезков просто не будут достаточно маленькими: никакое разбиение из отрезков, например, не будет подразбиением в разбиении $[0;1]$ на множество рац. чисел и множество иррац. чисел.

-- 06.07.2022, 09:23 --

Lia в сообщении #1559498 писал(а):

(Это я пока молчу, что у такого рода определений надо много чего обосновывать.)

Нужно доказать, что $\mathscr{B}$ — база. Для $B_1$ и $B_2$ из $\mathscr{B}$ (состоящих, скажем, из подразбиений для разбиения $A = A_1 \sqcup ... \sqcup A_n$ и подразбиений для разбиения $A = C_1 \sqcup ... \sqcup C_m$) $B_1 \cap B_2$ состоит из подразбиений для разбиения $A = \bigsqcup_{i,j}A_i \cap C_j $. Так что по модулю того, что пересечение измеримых множеств измеримо (я засомневался в этом утверждении после Вашего сообщения), $B_1 \cap B_2$ лежит в $\mathscr{B}$, то есть $\mathscr{B}$ — база.

[Padawan]

xagiwo в сообщении #1559499 писал(а):

Если, как при инт. по Риману, устремлять диаметр разбиения к нулю, подозреваю, что получится просто инт-л Римана, так что приходится выкручиваться с подразбиениями

Для ограниченных функций хоть при стремлении мелкости к нулю, хоть по подразбиениям получится интеграл Лебега. В смысле интеграл будет существовать тогда и только тогда, когда функция измерима. Суммы Дарбу надо рассмотреть, доказать их обычные свойства.

[xagiwo]

Padawan в сообщении #1559505 писал(а):

Для ограниченных функций хоть при стремлении мелкости к нулю, хоть по подразбиениям получится интеграл Лебега

Мелкость это диаметр разбиения? А что тогда насчёт моего примера с функцией Дирихле?

-- 06.07.2022, 10:40 --

Padawan в сообщении #1559505 писал(а):

получится интеграл Лебега

ой, я даже понял, почему. Разбиение области значений в инт-ле Лебега даёт разбиение области определения на прообразы отрезков разбиения. Спасибо.

-- 06.07.2022, 10:45 --

Padawan в сообщении #1559505 писал(а):

Суммы Дарбу надо рассмотреть, доказать их обычные свойства.

Зачем? То есть — для чего?

[Padawan]

Да, максимальный диаметр множеств разбиения. Я привык её мелкостью называть.

xagiwo в сообщении #1559507 писал(а):

А что тогда насчёт моего примера с функцией Дирихле?

Да, я ошибся. Для функции Дирихле не существует предел интегральных сумм неРимана при мелкости, стремящейся к нулю.
Надо брать супремум нижних сумм Дарбу и инфимум верхних сумм Дарбу. Функция будет интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда они совпадают.
Посмотрите книгу Крамер Г. Математические методы статистики, 1975 на странице 46 описан подход к интегралу Лебега через суммы Дарбу.
Отсюда вроде бы получается, что если брать предел по базе подразбиений, то такое определение тоже совпадает с интегралом Лебега.