Определенный интеграл

[Ёж]

Здравствуйте!
Известно, что $\int\limits_a^b f(x,y)dx=0$. Правильно ли понимаю, что интеграл $\int\limits_a^b f'_y(x,y)dx$ так же будет равен 0?

[Mihr]

Ёж в сообщении #1559082 писал(а):

Известно, что $\int\limits_a^b f(x,y)dx=0$.

Как-то это не очень понятно. Значение такого интеграла в общем случае должно зависеть от $y$. Указанный интеграл равен нулю при каком-то конкретном значении $y$? Или тождественно (при любых $y$)?

-- 02.07.2022, 10:26 --

Если подынтегральная функция может быть разложена в произведение двух функций, каждая из которых зависит лишь от одной ("своей") переменной $f(x,y)=g(x)h(y)$, тогда, конечно, будет именно так, как Вы говорите.

[gris]

Ещё, конечно, и линейная комбинация таких произведений. Можно на примере посмотреть:
$\int\limits_{-1}^1 2y^2x\;dx=y^2-y^2\equiv 0$. Дифференцируем по параметру:

$\int\limits_{-1}^1 4yx\;dx=2y-2y\equiv 0.

[B@R5uk]

Если понимать интеграл как

$$g\left(y\right)=\int\limits_a^b f\left(x,y\right)dx$$

то из

$$g\left(y\right)\equiv 0$$

следует, очевидно,

$$g'\left(y\right)\equiv 0$$

Однако, равенство

$$g'\left(y\right)=\int\limits_a^b f'_y\left(x,y\right)dx$$

является отдельным вопросом.

[svv]

Дифференцирование интеграла по параметру в русской Википедии, в английской.
Надо пригласить в тему участника give_up и попросить его усомниться в том, что указанные там условия справедливости теоремы являются наиболее общими.

[Ёж]

Mihr в сообщении #1559086 писал(а):

Ёж в сообщении #1559082 писал(а):

Известно, что $\int\limits_a^b f(x,y)dx=0$.

Как-то это не очень понятно. Значение такого интеграла в общем случае должно зависеть от $y$. Указанный интеграл равен нулю при каком-то конкретном значении $y$? Или тождественно (при любых $y$)?

-- 02.07.2022, 10:26 --

Если подынтегральная функция может быть разложена в произведение двух функций, каждая из которых зависит лишь от одной ("своей") переменной $f(x,y)=g(x)h(y)$, тогда, конечно, будет именно так, как Вы говорите.

Известно, что $\int\limits_a^b f(x,y)dx=0$, где $f(x, y)$ непрерывна на прямоугольнике $[a , b] \times [c , d]$.

Если непрерывна на этом прямоугольнике так же производная $f'_y(x,y)$, то $\left(\int\limits_a^b f(x,y)dx\right)'_x=\int\limits_a^b f'_y(x,y)dx=0$.

Т.е. не достаточно непрерывности производной $f'_y(x,y)$ в $[a , b] \times (c , d)$ для выполнения равенства $\int\limits_a^b f'_y(x,y)dx=0$?

[svv]

Посмотрите ссылку, найдите фразу

Цитата:

Stronger versions of the theorem only require that the partial derivative exist almost everywhere, and not that it be continuous.

[Ёж]

svv в сообщении #1559259 писал(а):

Посмотрите ссылку, найдите фразу

Цитата:

Stronger versions of the theorem only require that the partial derivative exist almost everywhere, and not that it be continuous.

Спасибо большое всем!!!