Производная двумерной функции распределения

[Otta]

Нашлось тут. Вы же уже писали нужное, но в другую сторону.

valerych в сообщении #1392730 писал(а):

Тогда $0 = \mu(N) = \mu(B) = \int\mu_y(B_x)d\mu_x$.

[valerych]

Otta в сообщении #1558866 писал(а):

Пришлось скачивать Богачева. Теми самыми "известными результатами"

valerych в сообщении #1558859 писал(а):

в области дифференцирования аддитивной функции множества.

Вы, видимо, называете теоремы 5.6.2 и 5.6.3 тома 1.
Хорошие результаты, но к вычислению Ваших производных они не имеют никакого касательства. Это усреднение.
Сейчас у меня складывается впечатление, что Вам не столько результат нужен, сколько согласовать его с Богачевым.
Не надо задействовать мощную артиллерию: результат простой, рассказывается в каждом курсе тервера, сомневаться в его истинности точно не нужно.
А хотите подоказывать - мне кажется, средств из перечисленных выше по странице за глаза хватит. А может, можно и проще.

Ещё очень интересный результат представлен в теореме 5.6.4. Именно его я представил в первом сообщении. Доказать я хочу именно существование смешанной производной почти всюду. Действительно, во многих курсах он рассказывается. Но его доказательства я нигде не видел. При этом в некоторых курсах он даже не упоминается: в учебнике Ширяева, например, данный факт мне обнаружить не удалось.

Otta в сообщении #1558866 писал(а):

valerych в сообщении #1558859 писал(а):

Более точно: для любой последовательности $\delta_n\to 0$, начиная с некоторого номера $n$ выполнено $x \notin E(y + \delta_n)$.

Еще раз: зачем. И кто такой $E(\cdot)$. Давайте унифицировать наши с вами обозначения.

Это необходимое условие существования производной. $E(y) = \mathbb R \setminus A(y)$. $E(y)$ - множество нулевой меры, а $A(y)$ - его дополнение.

Otta в сообщении #1558870 писал(а):

Нашлось тут. Вы же уже писали нужное, но в другую сторону.

valerych в сообщении #1392730 писал(а):

Тогда $0 = \mu(N) = \mu(B) = \int\mu_y(B_x)d\mu_x$.

Проблема в том, что эта формула справедлива только для измеримых множеств. А из измеримости сечений измеримость множества не следует. Поэтому не очень ясно, каким образом можно применить произведение мер.

[Otta]

Да, теория меры полна подвохов.

(Оффтоп)

Вы меня извините, я на работу. Может, зато придет кто-то лучше и красивше.

Доказательство мне тоже никогда не попадалось.

valerych в сообщении #1558882 писал(а):

При этом в некоторых курсах он даже не упоминается: в учебнике Ширяева, например, данный факт мне обнаружить не удалось.

Почему учебники этим не заморачиваются, в общем, понятно: функции многомерных распределений не такая уж востребованная вещь. Без них часто даже проще. Единственное но - это, пожалуй, единственный объект, который определен для произвольного распределения. Но дает это мало что, и используют их все равно, как правило, в одномерном случае.

[ShMaxG]

valerych в сообщении #1558825 писал(а):

В многих учебниках по теории вероятностей (например, у Боровкова) утверждается, что смешанная производная абсолютно непрерывной функции распределения

$$F(x,y) = \mathbf P\{X \leqslant x, Y \leqslant y\} = \iint_{(-\infty, x]\times (-\infty, y]} f(\tilde x, \tilde y) \, d\tilde x\, d\tilde y$$

почти всюду совпадает с плотностью случайного вектора, то есть

$$\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = f(x,y) \text{ п.в.}$$

Ни в одном учебнике я не нашёл доказательства этого факта.

Мне кажется, это просто следует из того, что

$$\iint_{(-\infty, x]\times (-\infty, y]} \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}(\tilde x, \tilde y) \, d\tilde x\, d\tilde y = F(x,y)=\iint_{(-\infty, x]\times (-\infty, y]} f(\tilde x, \tilde y) \, d\tilde x\, d\tilde y,$$

а так как равенство левой и правой части выполнено для любых $x$, $y$, то значит и подынтегральные функции совпадают почти всюду (см. параграф Интеграл Лебега в Ширяеве).

[valerych]

ShMaxG в сообщении #1558930 писал(а):

Мне кажется, это просто следует из того, что

$$\iint_{(-\infty, x]\times (-\infty, y]} \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}(\tilde x, \tilde y) \, d\tilde x\, d\tilde y = F(x,y)=\iint_{(-\infty, x]\times (-\infty, y]} f(\tilde x, \tilde y) \, d\tilde x\, d\tilde y,$$

а так как равенство левой и правой части выполнено для любых $x$, $y$, то значит и подынтегральные функции совпадают почти всюду (см. параграф Интеграл Лебега в Ширяеве).

Чтобы так написать, должна существовать смешанная производная $\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}( x, y)$ почти всюду. А в этом основная проблема и заключается.

[Otta]

valerych в сообщении #1558931 писал(а):

Чтобы так написать, должна существовать смешанная производная $\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}( x, y)$ почти всюду. А в этом основная проблема и заключается.

По-моему, все работает. Интеграл от производной абсолютно непрерывной функции существует всюду и равен разности значений в концах промежутка. Вроде нету проблем. Вторая часть равенства по определению. Равенство подынтегральных функций п.в. - известная теорема, если я правильно помню.

Но если вдруг что не так, мне как раз случайно попалась книжка. https://scask.ru/f_book_sm_math5.php?id=77

[valerych]

Otta в сообщении #1558935 писал(а):

По-моему, все работает. Интеграл от производной абсолютно непрерывной функции существует всюду и равен разности значений в концах промежутка. Вроде нету проблем. Вторая часть равенства по определению. Равенство подынтегральных функций п.в. - известная теорема, если я правильно помню.

Это верно для функций одной переменной и первой производной. Первая производная $\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}}$ существует при $x \in A(y)$. Здесь же интеграл от смешанной производной. Почему существует смешанная производная почти всюду? Чтобы вычислить вторую производную нужно быть уверенным, что $x\in A(y+\delta_n )$ при $\delta_n \to 0$. Почему это будет выполнено для п.в. $(x, y)$?

Otta в сообщении #1558935 писал(а):

Но если вдруг что не так, мне как раз случайно попалась книжка. https://scask.ru/f_book_sm_math5.php?id=77

Спасибо! Но здесь тоже нет доказательства, что производная существует почти всюду. В том месте, где соответствующая формула приведена, вообще не указано, что равенство выполнено почти всюду.

Как мне кажется, основный смысл теорем 5.6.2 и 5.6.3 у Богачева состоит именно в восстановлении функции по её интегралу. Перед теоремой 5.6.2 автор пишет, что она является обобщением одномерного случая. Если бы функцию можно было восстановить с помощью смешанной производной, то эти результаты были бы не так интересны.

[Otta]

valerych
Да, Вы правы.
Что доказательство там неполное - я прозевала.
У меня уже ночь, завтра с утра важные дела, потому все, что я могу сделать для Вас - подарить очередную ссылку. Язык там, конечно, очень тяжелый, но приятность в том, что более современный. https://disk.yandex.ru/i/ZhVZtzNt1whR-g Страница 36 и далее.
Интересующее Вас место (квадраты-прямоугольники), они обходят, ссылаясь на то, что якобы в Фихтенгольце доказано равенство Вашего верхнего (в первом посте) усреднения по квадрату смешанной производной. Охотно верю, для убедительности еще найти бы, но ссылка там битая, не на ту страницу. Возможно, Вы найдете. А может, докажете. Я на сегодня все.

З.Ы. Не докажете - завтра приду ))

[valerych]

Otta в сообщении #1558958 писал(а):

valerych
Язык там, конечно, очень тяжелый, но приятность в том, что более современный. https://disk.yandex.ru/i/ZhVZtzNt1whR-g Страница 36 и далее. Интересующее Вас место (квадраты-прямоугольники), они обходят, ссылаясь на то, что якобы в Фихтенгольце доказано равенство Вашего верхнего (в первом посте) усреднения по квадрату смешанной производной. Охотно верю, для убедительности еще найти бы, но ссылка там битая, не на ту страницу. Возможно, Вы найдете.

Otta, cпасибо большое! Интересная книга. Действительно, это место они обходят. Цитируемое утверждение о том, что если существует смешанная производная, то существует и предел усреднения, не вызывает доверия хотя бы потому, что смешанная производная может зависеть от порядка дифференцирования. И совсем неясно, существует ли производная на множестве полной меры.

[Otta]

По ночам вредно отвечать. Это они другое место обходят, и то условно. Там все очевидно (вроде). А остальное надо еще почитать. Или еще что-то придумать.

[Otta]

Ну вот вроде похоже на правду. Все еще не прочитала, но пока похоже. https://disk.yandex.ru/d/a7FZWPGF-EmfBg