Монотонность функции

[assik]

Имеется довольно простая функция

$f(t)=\frac{t-\ln\left(1+t\right)}{t^2}.$

Необходимо проверить, убывает ли она монотонно на участке $t\in\left(0, \, +\infty\right)$. График свидетельствует о строгом убывании, да и понятно, что знаменатель растет быстрее числителя. Но хотелось бы показать это строго аналитически. Производную $f$ можно записать так

$f'(t)=-\frac{1}{t^2}\left[1+\frac{1}{1+t}-\frac{2\ln\left(1+t\right)}{t}\right].$

Есть идеи, как показать положительность квадратной скобки? Пробовал разного рода оценки, связанные с логарифмами, однако толком ничего не получилось.

[Null]

Преобразуйте неравенство к виду $\ln(1+t)\le\dots$ и докажите его с помощью производной.

[assik]

Null в сообщении #1558377 писал(а):

Преобразуйте неравенство к виду $\ln(1+t)\le\dots$ и докажите его с помощью производной.

Неравенство

$1+\frac{1}{1+t}-\frac{2\ln\left(1+t\right)}{t}\geq 0$

при положительных $t$ равносильно неравенству

$\frac{t}{2}+\frac{t}{2(1+t)}- \ln\left(1+t\right) \geq 0.$

Чтобы доказать последнее, рассмотрим функцию

$g(t)=\frac{t}{2}+\frac{t}{2(1+t)}-\ln\left(1+t\right) .$

Производная $g(t)$

$g'(t)=\frac{t^2}{2\left(1+t\right)^2},$

а $g(0)=0.$ Значит, функция $g(t)$ неотрицательна и первоначальное неравенство верно. Так?

[Null]

Да.

[assik]

Null в сообщении #1558391 писал(а):

Да.

Спасибо за наводку

[novichok2018]

Нашёл нужное неравенство

$$ \ln(1+x)\leq \frac{x(x+2)}{2(x+1)} $$

в своей методичке про неравенства (первый вариант 1994 г., второй - в прошлом году). Понятно, что это элементарно всё, но мне приятно. Извините.