Доказать вероятность наступления события в среднем

[Sboy]

Всем привет,

Возникла следующая задача: пускай у нас есть N несимметричных монет, вероятность выпадения решки у которых $p_0, .., p_n$ и мы хотим, чтобы при многократном подбрасывании всех монет, в среднем решка выпадала на M монет (где $M \leq N$) за подбрасывание. Я считаю, что для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее:
$ \frac{\sum_{i = 0}^{N} p_i}{N} = \frac{M}{N} $,
т.е. средняя вероятность выпадения решки для всех монет должна равняться необходимой доле выпадающих решек от общего числа монет.

Симуляция этого процесса показывает, что на большом числе экспериментов это утверждение верно для любого распределения вероятностей $p_i$ (при симуляции использовал семплирование из распределения Бернули), но как это формально доказать. что-то нет идей. Может быть кто-то подскажет, как тут можно подступиться к формальному доказательству? Заранее спасибо!

[Padawan]

Используйте свойство: мат.ожидание суммы случайных величин равно сумме их мат.ожиданий.

[Arks]

Попытайтесь в лоб, найдите вероятность, что выпадет ровно M решек, и потом найдите матожидание

[svv]

Sboy в сообщении #1558253 писал(а):

пускай у нас есть N несимметричных монет, вероятность выпадения решки у которых $p_0, .., p_n$

Тут вместо $p_n$ должно быть $p_N$? Тогда вероятностей всего $N+1$, а монет $N$.

Sboy в сообщении #1558253 писал(а):

$ \frac{\sum_{i = 0}^{N} p_i}{N} = \frac{M}{N} $

Аналогично. Суммируете $N+1$ вероятностей, а монет только $N$.

[Sboy]

svv в сообщении #1558271 писал(а):

Sboy в сообщении #1558253 писал(а):

пускай у нас есть N несимметричных монет, вероятность выпадения решки у которых $p_0, .., p_n$

Тут вместо $p_n$ должно быть $p_N$? Тогда вероятностей всего $N+1$, а монет $N$.

Sboy в сообщении #1558253 писал(а):

$ \frac{\sum_{i = 0}^{N} p_i}{N} = \frac{M}{N} $

Аналогично. Суммируете $N+1$ вероятностей, а монет только $N$.

Да, пардон, вероятностей N: $p_1,..., p_N$ и, соответственно, $ \frac{\sum_{i = 1}^{N} p_i}{N} = \frac{M}{N} $

[Fizykochemik]

Кстати, насчет несимметричных монет
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/re ... ceRev2.pdf

[Sboy]

Arks в сообщении #1558255 писал(а):

Попытайтесь в лоб, найдите вероятность, что выпадет ровно M решек, и потом найдите матожидание

Вероятность выпадения M решек из N монет выходит как-то так (где i - выборка из M индексов):
$p_{M} = \sum_{i \in C_{N}^{M}} \prod_{j=1}^{N} \left\{\begin{matrix} p_j, if\ j \in i \\ 1 - p_j, else \end{matrix}\right$

Но даже на игрушечных примерах вроде выборки 2 монет из 4 эта формула ни во что красивое не сворачивается

[svv]

Sboy, а подсказка Padawan «зашла»?

[Lia]

svv в сообщении #1558284 писал(а):

Sboy, а подсказка Padawan «зашла»?

А он ее не заметил.
Sboy
Про распределение Бернулли Вы знаете, про матожидание суммы Вам подсказали... чего еще?
Хотите - в Карантин сношу, иногда хорошо помогает. У человека появляется время думать.

[Sboy]

Lia в сообщении #1558285 писал(а):

svv в сообщении #1558284 писал(а):

Sboy, а подсказка Padawan «зашла»?

А он ее не заметил.
Sboy
Про распределение Бернулли Вы знаете, про матожидание суммы Вам подсказали... чего еще?
Хотите - в Карантин сношу, иногда хорошо помогает. У человека появляется время думать.

Я ее заметил, но еще не догадался как мне это помогает.
Зачем сразу банить, я же не задаю дополнительных вопросов, а просто фиксирую свой текущий статус

[svv]

Пожалуйста, подумайте в этом направлении. Там всё абсолютно просто. Пусть с.в. $\xi_i$ принимает значение $1$, если $i$-я монета упала решкой.

[Lia]

Sboy в сообщении #1558286 писал(а):

Зачем сразу банить,

Карантин - это Карантин. Банить это не так. ))

Все, думайте.

[Sboy]

svv в сообщении #1558287 писал(а):

Пожалуйста, подумайте в этом направлении. Там всё абсолютно просто. Пусть с.в. $\xi_i$ принимает значение $1$, если $i$-я монета упала решкой.

Получается что-то вроде такого:
1) Пускай у нас есть N дискретных случайных величин $\xi_i$, таких что: $P(\xi_i = 1) = p_i$ (выпала решка), $P(\xi_i = 0) = 1 - p_i$ (выпал орел).
2) Нас интересует, чтобы в среднем выпадало M решек, т.е. иными словами $\mathbb{E}[\sum_{i=1}^{N} \xi_i] = M$
3) Т.к. матожидание суммы равно сумме матожиданий, получаем $\sum_{i=1}^{N} \mathbb{E}[\xi_i] = M$, где $\mathbb{E}[\xi_i] = 1 \cdot p_i + 0 \cdot (1 - p_i) = p_i $.
4) Тогда выражение из пункта (2) можно переписать в виде $\sum_{i=1}^{N} p_i = M $, т.е. получаем искомое выражение.

Если я нигде не наврал, то выходит и правда довольно просто. Ребята, спасибо за подсказки! Довольно тяжело вспоминать то, что после универа много лет не пригождалось

[svv]

Да.
Можно и так. Введём ещё $\xi=\sum\limits_{i=1}^N\xi_i$. Эта с.в. показывает число выпавших решек при подбрасывании всех $N$ монет. Тогда
$\mathbb E\xi=\sum\limits_{i=1}^N\mathbb E\xi_i=\sum\limits_{i=1}^N p_i=M$

[Sboy]

svv в сообщении #1558309 писал(а):

Да.
Можно и так. Введём ещё $\xi=\sum\limits_{i=1}^N\xi_i$. Эта с.в. показывает число выпавших решек при подбрасывании всех $N$ монет. Тогда
$\mathbb E\xi=\sum\limits_{i=1}^N\mathbb E\xi_i=\sum\limits_{i=1}^N p_i=M$

Спасибо за помощь!