2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 13:19 


20/12/09
49
Всем привет,

Возникла следующая задача: пускай у нас есть N несимметричных монет, вероятность выпадения решки у которых $p_0, .., p_n$ и мы хотим, чтобы при многократном подбрасывании всех монет, в среднем решка выпадала на M монет (где $M \leq N$) за подбрасывание. Я считаю, что для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее:
$ \frac{\sum_{i = 0}^{N} p_i}{N} = \frac{M}{N} $,
т.е. средняя вероятность выпадения решки для всех монет должна равняться необходимой доле выпадающих решек от общего числа монет.

Симуляция этого процесса показывает, что на большом числе экспериментов это утверждение верно для любого распределения вероятностей $p_i$ (при симуляции использовал семплирование из распределения Бернули), но как это формально доказать. что-то нет идей. Может быть кто-то подскажет, как тут можно подступиться к формальному доказательству? Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 13:37 
Заслуженный участник


13/12/05
4251
Используйте свойство: мат.ожидание суммы случайных величин равно сумме их мат.ожиданий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 13:38 


26/02/22
61
Попытайтесь в лоб, найдите вероятность, что выпадет ровно M решек, и потом найдите матожидание

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 16:25 
Заслуженный участник


23/07/08
9314
Crna Gora
Sboy в сообщении #1558253 писал(а):
пускай у нас есть N несимметричных монет, вероятность выпадения решки у которых $p_0, .., p_n$
Тут вместо $p_n$ должно быть $p_N$? Тогда вероятностей всего $N+1$, а монет $N$.
Sboy в сообщении #1558253 писал(а):
$ \frac{\sum_{i = 0}^{N} p_i}{N} = \frac{M}{N} $
Аналогично. Суммируете $N+1$ вероятностей, а монет только $N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 16:43 


20/12/09
49
svv в сообщении #1558271 писал(а):
Sboy в сообщении #1558253 писал(а):
пускай у нас есть N несимметричных монет, вероятность выпадения решки у которых $p_0, .., p_n$
Тут вместо $p_n$ должно быть $p_N$? Тогда вероятностей всего $N+1$, а монет $N$.
Sboy в сообщении #1558253 писал(а):
$ \frac{\sum_{i = 0}^{N} p_i}{N} = \frac{M}{N} $
Аналогично. Суммируете $N+1$ вероятностей, а монет только $N$.


Да, пардон, вероятностей N: $p_1,..., p_N$ и, соответственно, $ \frac{\sum_{i = 1}^{N} p_i}{N} = \frac{M}{N} $

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 17:47 
Аватара пользователя


19/06/14
74
Кстати, насчет несимметричных монет
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/re ... ceRev2.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 18:43 


20/12/09
49
Arks в сообщении #1558255 писал(а):
Попытайтесь в лоб, найдите вероятность, что выпадет ровно M решек, и потом найдите матожидание


Вероятность выпадения M решек из N монет выходит как-то так (где i - выборка из M индексов):
$p_{M} = \sum_{i \in C_{N}^{M}} \prod_{j=1}^{N} \left\{\begin{matrix} p_j, if\ j \in i \\ 1 - p_j, else \end{matrix}\right$

Но даже на игрушечных примерах вроде выборки 2 монет из 4 эта формула ни во что красивое не сворачивается :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 18:54 
Заслуженный участник


23/07/08
9314
Crna Gora
Sboy, а подсказка Padawan «зашла»?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 19:02 
Модератор


20/03/14
11859
svv в сообщении #1558284 писал(а):
Sboy, а подсказка Padawan «зашла»?

А он ее не заметил.
Sboy
Про распределение Бернулли Вы знаете, про матожидание суммы Вам подсказали... чего еще?
Хотите - в Карантин сношу, иногда хорошо помогает. У человека появляется время думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 19:13 


20/12/09
49
Lia в сообщении #1558285 писал(а):
svv в сообщении #1558284 писал(а):
Sboy, а подсказка Padawan «зашла»?

А он ее не заметил.
Sboy
Про распределение Бернулли Вы знаете, про матожидание суммы Вам подсказали... чего еще?
Хотите - в Карантин сношу, иногда хорошо помогает. У человека появляется время думать.


Я ее заметил, но еще не догадался как мне это помогает.
Зачем сразу банить, я же не задаю дополнительных вопросов, а просто фиксирую свой текущий статус :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 19:19 
Заслуженный участник


23/07/08
9314
Crna Gora
Пожалуйста, подумайте в этом направлении. Там всё абсолютно просто. Пусть с.в. $\xi_i$ принимает значение $1$, если $i$-я монета упала решкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 19:34 
Модератор


20/03/14
11859
Sboy в сообщении #1558286 писал(а):
Зачем сразу банить,

Карантин - это Карантин. Банить это не так. ))

Все, думайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 23:22 


20/12/09
49
svv в сообщении #1558287 писал(а):
Пожалуйста, подумайте в этом направлении. Там всё абсолютно просто. Пусть с.в. $\xi_i$ принимает значение $1$, если $i$-я монета упала решкой.


Получается что-то вроде такого:
1) Пускай у нас есть N дискретных случайных величин $\xi_i$, таких что: $P(\xi_i = 1) = p_i$ (выпала решка), $P(\xi_i = 0) = 1 - p_i$ (выпал орел).
2) Нас интересует, чтобы в среднем выпадало M решек, т.е. иными словами $\mathbb{E}[\sum_{i=1}^{N} \xi_i] = M$
3) Т.к. матожидание суммы равно сумме матожиданий, получаем $\sum_{i=1}^{N} \mathbb{E}[\xi_i] = M$, где $\mathbb{E}[\xi_i] = 1 \cdot p_i + 0 \cdot (1 - p_i) = p_i $.
4) Тогда выражение из пункта (2) можно переписать в виде $\sum_{i=1}^{N} p_i = M $, т.е. получаем искомое выражение.

Если я нигде не наврал, то выходит и правда довольно просто. Ребята, спасибо за подсказки! Довольно тяжело вспоминать то, что после универа много лет не пригождалось :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 23:36 
Заслуженный участник


23/07/08
9314
Crna Gora
Да. :-)
Можно и так. Введём ещё $\xi=\sum\limits_{i=1}^N\xi_i$. Эта с.в. показывает число выпавших решек при подбрасывании всех $N$ монет. Тогда
$\mathbb E\xi=\sum\limits_{i=1}^N\mathbb E\xi_i=\sum\limits_{i=1}^N p_i=M$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать вероятность наступления события в среднем
Сообщение23.06.2022, 23:42 


20/12/09
49
svv в сообщении #1558309 писал(а):
Да. :-)
Можно и так. Введём ещё $\xi=\sum\limits_{i=1}^N\xi_i$. Эта с.в. показывает число выпавших решек при подбрасывании всех $N$ монет. Тогда
$\mathbb E\xi=\sum\limits_{i=1}^N\mathbb E\xi_i=\sum\limits_{i=1}^N p_i=M$


Спасибо за помощь! :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group