Равенство рациональных функций

[maximav]

Возможно я туплю, но подскажите, какие общие утверждения известны по вопросу о равенстве двух рациональных функций

$$\frac{a_{jk}x_jx_k}{b_{jk}x_jx_k}= \frac{A_{jk}x_jx_k}{B_{jk}x_jx_k}$$

при любых $x_j$? В частности, следует ли, что самонапрашивающееся решение

$$a_{jk}={\rm const}\cdot A_{jk} \quad\text{и}\quad b_{jk}={\rm const}\cdot B_{jk}$$

есть общее решение задачи? Произвол в решении дается одной свободной константой? Числители и знаменатели выше считаются неприводимыми. Скорее всего про это где-то написано. Где?

[Slav-27]

Надо ещё сказать, что числитель не пропорционален знаменателю.
Это равенство почти эквивалентно равенству многочленов (домножение на знаменатели), а многочлены над бесконечным полем равны как функции тогда и только тогда, когда они равны как многочлены. Эквивалентно, многочлен, задающий нулевую функцию, -- нулевой. Это следует из того, что у ненулевого многочлена от 1 переменной только конечное число корней.

[maximav]

Так то, что я спрашивал, корректно? После приведения в полиномиальную форму и приравнивания к нулю я, честно говоря, не вижу почему ответ с очевидностью такой как написан. Пытаюсь прописать формулы и вывести откуда это следовало бы, but no avail. Может это все же где-то описано?

[Slav-27]

Потому что кольцо многочленов над полем факториально. Почитайте про факториальные кольца в каком-нибудь учебнике алгебры, например, "Алгебра -- 1" Городенцева.

[maximav]

Городенцев: стр. 63, упражнение 4.18?

[Slav-27]

Скорее теорема 6.2: "кольцо многочленов над факториальным кольцом факториально".
$aB=Ab$, где $a,b,A,B$ -- неприводимые многочлены; так как разложение на неприводимые однозначно с точностью до порядка и констант, то либо $a=A,b=B$, либо $a=b,A=B$, с точностью до констант.

[Null]

$\frac{x_1x_3}{x_2x_3}=\frac{x_1x_4}{x_2x_4}$