Маленький вопрос о ранге

[Nartu]

Здравствуйте.

Меня терзает вопрос: а как считать ранг для кольца ?

Видел такую штуку кое-где и сразу предположил, что в отличии от абелевых групп, для колец учитывается произведение. Можно искать ранг абелевой подгруппы по сложению (возможно, минимального ранга) элементы которой при умножении и сложении порождают остальные элементы. Или же всё так же, как и в абелевых группах?

Так вот - догадка верная? (а то в учебнике искать - голова болеть будет)

Если неверно, тогда я был бы рад обсудить тот самый случай.. для понимания, доказательства(посоветовать или подтвердить кое-такие пути, которые мне уже говорили, но не здесь)

[iou]

Для абелевых групп тоже учитывается "произведение", а именно учитывается структура умножения на целые числа, то есть просто структура сложения.
В общем случае если есть кольцо $R$ (в случае абелевых групп $R=\mathbb{Z}$) и некоторый $R$-модуль $M$ (модуль над целыми числами = абелева группа), то $M$ называется свободным $R$-модулем если он изоморфен модулю вида $R^{I}$, где $I$-некоторое множество индексов и кардинал $I$ называется рангом свободного модуля $M$. Просто выражение "ранг кольца" смысла не имеет (если заранее не сказано что это кольцо это алгебра над другим кольцом, тогда имеется в виду ранг как модуля над тем другим кольцом). Также не имеет смысла выражение "ранг модуля" в общем случае, хотя выражение "ранг конечно-порождённой абелевой группы" смысл имеет. А это потому что конечно-порождённые абелевы группы устроены очень просто, у них есть свободная часть $\mathbb{Z}^N$ и кручение, вот $N$ и будет рангом. Можно шагнуть чуть дальше и воспользоваться структурной теоремой для конечно-порождённых модулей над кольцами главными идеалов (в точности тоже самое что и для абелевых групп) и тогда выражение "ранг модуля" тоже будет осмысленным.

Что интересно, ранг можно определить так же для левых/правых модулей над некоммутативными кольцами, но там оно себя плохо ведёт. Например, у модуля ранга 2 может быть подмодуль ранга 3. Для коммутативных колец такого не бывает, если Вы допускаете аксиому выбора (ранг это локальное понятие, можно всё локализовать, но для этого нужны максимальные идеалы).

[Nartu]

iou в сообщении #1557912 писал(а):

...
В общем случае если есть кольцо $R$ (в случае абелевых групп $R=\mathbb{Z}$) и некоторый $R$-модуль $M$ (модуль над целыми числами = абелева группа), то $M$ называется свободным $R$-модулем если он изоморфен модулю вида $R^{I}$, где $I$-некоторое множество индексов и кардинал $I$ называется рангом свободного модуля $M$. Просто выражение "ранг кольца" смысла не имеет (если заранее не сказано что это кольцо это алгебра над другим кольцом, тогда имеется в виду ранг как модуля над тем другим кольцом). ...

iou в сообщении #1557912 писал(а):

Можно шагнуть чуть дальше и воспользоваться структурной теоремой для конечно-порождённых модулей над кольцами главными идеалов (в точности тоже самое что и для абелевых групп) и тогда выражение "ранг модуля" тоже будет осмысленным.

Честно говоря, тот пример, что вдохновил меня написать - это, теорема(?), что идеал аугментации $\triangle$ группового кольца свободной группы: $\mathbb{Z}[F]$ будет иметь ранг = количеству её порождающих, даже если их бесконечно. Ну, что это свободный модуль. Просто главное - равенство нулю суммы коэффициентов, а там точно могут быть суммы разных элементов $F$ с коф-ами. В итоге лин.комбинаци будут длиннее количества порождающих. Правда в случае бесконечности будет как-то всё-равно, но всё же.
Я почти сразу понял, что можно взять произведения(может и сложения) всех элементов вида

$$\sum\limits_{i=1}^{K}a_i(x_i-1)$$

где $x_i$ порождающие $F$, с количеством $K$, $a_i \in \mathbb{Z}$

И так вполне можно получить все остальные - элементы группы будут создавать новые, а сумма коэффициентов осталась 0.
Но вот один человек говорил мне, что всё может быть по сложению - в $\triangle$ не все лин-комбинации будут независимыми, и надо как-то это проверить. А может быть, всё совпадёт..