Свойства базисных функций КМА Хаара (вейвлеты Хаара)

[Alm99]

Добрый день, уважаемые форумчане! Возник вопрос следующего характера. Рассмотрим систему вейвлетов Хаара $\psi_{k}^{(l)}$, которые заданы следующим образом:

$\psi_{k}^{(l)} = a^{k/2}\psi(a^{k}x - l).$

И необходимо показать, что:

• функции системы вейвлетов Хаара не могут иметь общий компактный носитель;
• система вейвлетов Хаара не может быть системой ограниченных в совокупности функций т.е. показать, что
  
  
  $ |\psi_{k}^{(l)}| < C = \operatorname{const} $

Если рассматривать первый пункт. Данный вопрос по сути означает: возможно ли указать единый отрезок, внутри которого лежат носители всех функций системы вейвлетов Хаара?

Запишем формулу для системы вейвлетов Хаара, на основе общей формулы $a = 2$:

$\psi_{k}^{(l)}\left(x\right)=2^\frac{k}{2}\psi(2^k x-l)$

Достаточно брать в этой формуле $k < 0$, в этом случае носители всплесков только расширяются в 2 раза получается. Поэтому никакого общего отрезка для всех всплесков указать невозможно.

У меня вопрос заключается в следующем: что рассмотреть для доказательства второго пункта определения? Или может быть в какой-то монографии или литературе имеется ответ на данный вопрос? Интуитивно, я понимаю, что система вейвлетов Хаара не является системой ограниченных в совокупности функций, поскольку в силу свойств КМА Хаара при переходе от одного подпространства в другое, в силу условия вложенности $W_{0} \subset W_{1}, \ldots \subset W_{k}$, само значение функции вейвлета Хаара принимает $\pm a^{k/2}$, понятное дело, что и если индексы подпространств отрицательные, то значение вейвлета будет убывать, однако тоже по модулю не ограничиваться определенным числом...

Имеется ли более строгое обоснование данного утверждения?

[Alm99]

Вопрос более не актуален! Достаточно показать, что при любом значении $i$ последовательность модулей $2^{i/2}$ не является ограниченной.