Дифференцируемость функции на отрезке - хочу разобраться

[give_up]

Недавно я уже задавал здесь вопрос про определение дифференцируемости функции на отрезке, но после этого основательно прошерстил учебники и у меня возник новый вопрос по этой теме.
Итак, есть четыре определения.
1. Для функции нескольких переменных определение дифференцируемости на открытом множестве (приводимое во многих учебниках по матанализу) выглядит следующим образом.
Пусть $X \subset \mathbb{R}^n$ - открытое множество. Функция $f: X \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой, если она дифференцируема в каждой точке множества $X$.

2. В учебнике М. Спивака "Математический анализ на многообразиях" для функции нескольких переменных дается определение дифференцируемости на произвольном (не обязательно открытом множестве).
Функция $f: X \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой, если ее можно продолжить до дифференцируемой функции на некотором открытом множестве, содержащем $X$. Другими словами, если существует расширение этой функции $\tilde f$, дифференцируемое на некотором открытом множестве $U \supset X$.

3. Рассмотрим случай $n=1$ и отрезок $X = [a,b] \subset \mathbb{R}$, тогда определение из п.2 будет выглядеть следующим образом.
Функция $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой, если существует расширение этой функции $\tilde f$, дифференцируемое на некотором открытом множестве $U \supset [a,b]$.

4.Однако, в учебниках по матанализу дается следующее определение дифференцируемости функции на отрезке.
Функция $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой, если она дифференцируема на интервале $(a,b)$ (т.е. у нее существует производная в каждой точке этого интервала), а также если у у нее существует правая производная в точке $a$ и левая производная в точке $b$.

Похоже, что определения из п.3 и п.4 не являются эквивалентными. Получается, что в математике нет общепринятого определения дифференцируемости функции на отрезке?? Или же случай $X = [a,b] \subset \mathbb{R}$ следует особым частным случаем, для которого предпочтительно использовать определение из п.4?

[RIP]

Определения из 3 и 4 эквивалентны (вне отрезка $[a,b]$ функцию можно доопределить линейно).

[give_up]

RIP в сообщении #1557640 писал(а):

Определения из 3 и 4 эквивалентны (вне отрезка $[a,b]$ функцию можно доопределить линейно).

Можно ли чуть поподробнее, что означает доопределить функцию линейно вне отрезка $[a,b]$?
Правильно ли я понял, что это означает присоединить к точке $(b,f(b))$ луч, определенный на промежутке $[b, +\infty)$ и совпадающий на нем с касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(b,f(b))$; а к точке $(a,f(a))$ присоединить луч, определенный на промежутке $(-\infty, a]$ и совпадающий на нем с касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(a,f(a))$?

[vpb]

give_up в сообщении #1557683 писал(а):

Правильно ли я понял, что

Правильно.

[Walker_XXI]

RIP в сообщении #1557640 писал(а):

Определения из 3 и 4 эквивалентны

give_up в сообщении #1557683 писал(а):

Можно ли чуть поподробнее

Эквивалентность определений означает, что функция, дифференцируемая в смысле опр.3, дифференцируема и в смысле опр.4 (у неё существуют соответствующие левая и правая производные в крайних точках отрезка), и наоборот: функция, дифференцируемая в смысле опр.4, ввиду существования левой и правой производных на границе, может быть продолжена указанным Вами образом, т.е. удовлетворяет опр. 3.

[give_up]

Walker_XXI, vpb, RIP
Спасибо, теперь я вижу, что определения 3 и 4 эквивалентны. Далее для полноты картины мне осталось лишь разобраться с понятием дифференцируемости на произвольном (не обязательно открытом) подмножестве области определения.
В случае со свойством непрерывности все просто – функция $f: X \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ называется непрерывной на множестве $E \subset X$, если ее сужение на множество $E$ является непрерывной функцией (такая формулировка встречается в некоторых учебниках по матанализу).
Можно ли аналогично сказать про свойство дифференцируемости, то есть сказать, что функция $f: X \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой на множестве $E \subset X$, если ее сужение на множество $E$ является дифференцируемой функцией?

В случае истинности последнего предложения получим, что обобщение определения 2 будет выглядеть следующим образом:
2б. Функция $f: X \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ называется дифференцируемой на множестве $E \subset X$, если для ее сужения $g = f|_E$ на это множество существует расширение $\tilde g$, дифференцируемое на некотором открытом множестве $U \supset E$.

Корректно ли такое определение 2б?

[vpb]

Как-то двусмысленно. По-моему, даже когда $E\subsetX={\mathbb R}$, выражение " $f$ дифференцируема на $E$" можно понимать в двух смыслах. Или (а) ограничение $f|_E$ дифференцируемо на $E$, или (б) $f$ (исходная, т.е. заданная на всём ${\mathbb R}$) имеет производную в каждой точке $x\in E$.