Теорема о бесконечном количестве простых чисел - близнецов

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники, прошу простить за нескромнсть, но хочу вынести на ваш суд мое доказательство бесконечности простых чисел - близнецов.

Теорема (о бесконечном количестве простых чисел - близнецов)
Для любого $n\in N$, $n>2$ на интервале $(2^{n-1};2^n]$ существует хотя бы одна пара простых чисел - близнецов.

Доказательство.
Так как $n$ выбирается произвольно, то доказав существование близнецов на интервале при фиксированном n,
применим его к любым других $n$.
Пусть число $n$ фиксировано, тогда интервал $(2^{n-1};2^n]$ вполне определен.
Это последовательность натуральных чисел $2^{n-1}+1;2^{n-1}+2;...;2^n-1;2^n$.
Это конечная последовательность.
Применим к ней решето Эратосфена.

Но сначала введем некоторые определения.
Между двумя соседними простыми числами может быть
либо одно составное число(назовем его изолированным составным числом),
либо группа подряд идущих составных чисел.
Между близнецами как раз и расположены изолированные составные числа.

По алгоритму Эратосфена исключаются составные числа кратные простым числа от $2$ до $2^{n/2}$.
Это можно сделать всегда, так как $n$ - фиксированное.
1 шаг. Выделяем числа кратные $2$.
Все числа последовательности разделяться на две равные группы:
четные числа - потенциально изолированные составные числа,
нечетные числа - потенциально простые числа.
2 шаг. Выделяем числа кратные $3$.
Теперь потенциально изолированные составные числа чередуются с группой составных по три числа.
Каждое потенциально изолированное составное число обязательно лежит между группами составных чисел.
3 шаг. Выделяем числа кратные $5$.
Здесь появляются комбинации, когда соседние группы составных чисел разделены только одним потенциально простым число.
Процесс продолжается пока не будут выделены все числа, кратные простым до $2^{n/2}$.

Теперь посмотрим, как меняется количество изолированных составных чисел.
После шага 1 получается одинаковое количество потенциально изолированных составных чисел и потенциально простых.
В дальнейших шагах возможны только три варианта:
1. Зачеркивание составного числа не ведет к изменению количества потенциально изолированных составных чисел.
2. Зачеркивание потенциально простого числа между группами составных чисел не меняет количества изолированных составных чисел,
но уменьшает количество потенциально простых чисел.
3. Зачеркивание потенциально простого числа между изолированным составным числом и группой составных чисел
приводит к исчезновению одновременно и потенциально простого числа и потенциально изолированного составного числа.

Вывод. По завершению алгоритма Эратосфена количество исчезнувших потенциально простых чисел будет больше,
чем исчезнувших потенциально изолированных составных чисел. Следовательно, хотя бы одно изолированное составное число
на данном интервале останется, а значит хотя бы одна пара близнецов на интервале существует.

[waxtep]

Побережный Александр в сообщении #1557562 писал(а):

В дальнейших шагах возможны только три варианта:

Здесь не совсем понятно. Рассмотрим для примера числа от $17$ до $32$; на первом шаге, в частности, $20$ и $22$ будут отмечены как ПИСЧ (потенциально изолированные составные числа), а $21$ - как ППЧ (потенциально простое число). На втором шаге все эти три числа будут окончательно вычеркнуты, т.е. минус одно ППЧ и минус два ПИСЧ... вдруг ПИСЧ закончатся раньше?