Обозначим плотность цилиндра за
![$\rho$ $\rho$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/e/6dec54c48a0438a5fcde6053bdb9d71282.png)
, а воды соответственно за
![$\rho_0$ $\rho_0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/e/3ee3f93b7a51e5719c84fadc6813781782.png)
, высота цилиндра
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
Пусть у нас цилиндр сместился из положения равновесия вниз на малую величину
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
.
То есть его потенциальная энергия уменьшилась на
![$P=s h \rho gy$ $P=s h \rho gy$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/9/b59c51f84a7e3096cdc2d3821849f80282.png)
Тогда уровень воды в цилиндре поднялся на
![$\frac{s}{S-s}y$ $\frac{s}{S-s}y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/d/8edc873c52976e18755dd4bf464fce0c82.png)
Расстояние от поверхности воды до дна цилиндра в положении равновесия будет
![$\gamma h$ $\gamma h$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/1/0e1c8f3a4ab7f615b737caec279846fc82.png)
И соответственно мы можем сосчитать, насколько изменилась потенциальная энергия воды в сосуде когда мы утопили цилиндр на
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
Ведь вода со дна цилиндра переместилась в часть между стенок над первоначальным уровнем. То есть потенциальная энергия увеличилась на
![$P_0=sy \rho_0g(\frac{s}{S-s}\frac{y}{2}+\gamma h)$ $P_0=sy \rho_0g(\frac{s}{S-s}\frac{y}{2}+\gamma h)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/8/858bda41b88c935275a69e18e70ccae882.png)
То есть полное изменение потенциальной энергии будет
![$P_0-P=\frac{1}{2}\frac{s^2}{S-s}\rho_0 gy^2$ $P_0-P=\frac{1}{2}\frac{s^2}{S-s}\rho_0 gy^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/0/e207b90f9fe8c45d2c554b8f8e2322b082.png)
Теперь считаем полную кинетическую энергию цилиндра и воды при прохождении положения равновесия.
Если скорость цилиндра
![$v$ $v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4adbc36120d62b98deef2a20d5d30382.png)
, тогда скорость воды между стенками сосуда и цилиндром
![$\frac{s}{S-s}v$ $\frac{s}{S-s}v$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/9/8f9a15f26def126ba3e0a6d2176c85a782.png)
И полная кинетическая энергия будет
![$K= \frac{1}{2} hs \rho v^2 + \frac{1}{2}(S-s) \gamma h \rho_0(\frac{s}{S-s})^2 v^2$ $K= \frac{1}{2} hs \rho v^2 + \frac{1}{2}(S-s) \gamma h \rho_0(\frac{s}{S-s})^2 v^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/c/13c0fc527d9a36c43ab9a62f2833dbd482.png)
Остаётся приравнять обе энергии.
Получаем после сокращений:
![$gy^2 = \frac{S}{s}\gamma hv^2$ $gy^2 = \frac{S}{s}\gamma hv^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/0/86097078d3b7cfdd57972a6eba3c68e882.png)
Ну и с учётом
![$v=\omega y$ $v=\omega y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/d/fbdf75eac4fcca9d4915920b1bd886dd82.png)
получаем, что
![$\omega^2 =\frac{g}{h} \frac{s}{S} \frac{1}{\gamma}$ $\omega^2 =\frac{g}{h} \frac{s}{S} \frac{1}{\gamma}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/1/eb17adc92f1dab0db424033b32a9926382.png)
Как видим, почти вся кинетическая энергия уходит в движение воды, а не цилиндра.