Два охотника и кабан (вероятность)

[melnikoff]

Два охотника одновременно стреляют в кабана. Известно, что первый попадает с вероятностью 0.8, а второй — 0.5 (независимо от первого). Кабан убит, и в нём обнаружена одна пуля. Найдите вероятность того, что:
1) кабана убил первый охотник,
2) кабана убил второй охотник.

Прошу проверить мои рассуждения.
1-й способ:
Допустим, на данных двух охотниках была проведена независимая серия вышеописанных экспериментов 1000 раз.
Тогда,
кол-во исходов, когда промахнулись оба равно приблизительно $0.2\cdot 0.5 \cdot 1000 = 100$,
кол-во исходов, когда 1-й попал, а 2-й промахнулся равно приблизительно $0.8\cdot 0.5 \cdot 1000 = 400$,
кол-во исходов, когда 2-й попал, а 1-й промахнулся равно приблизительно $0.5\cdot 0.2 \cdot 1000 = 100$,
кол-во исходов, когда попали оба равно приблизительно $0.8\cdot 0.5 \cdot 1000 = 400$.
Нам известно, что в кабане ровно 1 пуля. Это значит, что попал 1-й, а 2-й промахнулся, либо 2-й попал, а 1-й промахнулся. Таких исходов будет примерно 500.
Выходит, что $P(\text{.
Аналогично, $P(\text{.

2-й способ:
Пусть
$A$ - "В кабане ровно 1 пуля",
$B_1$ - "1-й охотник попал",
$B_2$ - "2-й охотник попал".

Воспользуемся теоремой Байеса:
$P(B_1|A) = \frac{P(A|B_1)\cdot P(B_1)}{P(A)}$.
Чтобы найти знаменатель, выделим полную группу попарно несовместных событий ("1-й попал" и "1-й не попал") и воспользуемся формулой полной вероятности:
$P(A) = P(A|B_1)\cdot P(B_1) + P(A|\overline{B_1})\cdot P(\overline{B_1}) = 0.5\cdot 0.8 + 0.5\cdot 0.2 = 0.5$.
В итоге,
$P(B_1|A) = \frac{0.5\cdot 0.8}{0.5} = \frac{4}{5}$.
Аналогично,
$P(B_2|A) = \frac{1}{5}$.

Прошу оценить строгость и правильность рассуждений.

[Aritaborian]

melnikoff в сообщении #1557387 писал(а):

Допустим, на данных двух охотниках была проведена независимая серия вышеописанных экспериментов 1000 раз.

Зачем?

melnikoff в сообщении #1557387 писал(а):

кол-во исходов, когда промахнулись оба равно приблизительно $0.2\cdot 0.5 \cdot 1000 = 100$

В каком смысле «равно приблизительно»?

[Pphantom]

melnikoff, в самом деле, зачем вам 1000 экспериментов? Куда проще пользоваться дробями.

Т.е. все правильно, но как-то избыточно сложно.

[Arks]

Aritaborian
Тут под $1000$ имеется ввиду некое большое N, как в физике

[melnikoff]

Aritaborian, Pphantom, я ищу способ наглядного и простого объяснения данной задачи для людей, которые только начинают изучать теорию вероятностей. Как мне кажется, в самом начале пути легче рассуждать в терминах кол-ва исходов и частот, нежели в терминах вероятности.
Почему выбрана именно 1000? Во-первых, получаются удобные дроби. А во-вторых, оно как бы уже и большое, но при этом ещё и удобное для расчетов. Понятное дело, в этом моменте нужно приговаривать что-то вроде "на самом деле предполагается, что кол-во экспериментов стремиться к бесконечности".

[Pphantom]

melnikoff, в современной реальности изучение теории вероятностей обычно все же происходит позже, чем изучение действий с дробями (исключения бывают, сам когда-то тут об этом писал, но патологические случаи лучше не рассматривать). Так что разумнее не загромождать изложение излишними деталями.

[vpb]

melnikoff
Гражданин супермодератор со мной не согласится, но, имхо --- отличное объяснение ! Именно сначала проще с полком охотников, а потом уже переходить к абстрактным рассуждениям про Байеса и т.д.

Поправка: с полком (стадом 1000 рыл) кабанов, а не охотников (это я перепутал).