2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Колебания в воде
Сообщение30.05.2022, 23:13 
Аватара пользователя


12/02/20
282
Однородный цилиндр высоты $h = 10$ $cm$ и площади поперечного сечения $s = 100$ $ cm^2$ плавает в цилиндрическом сосуде высоты $H = 20$ $ cm$ и площади поперечного сечения $S = 102$ $ cm^2$. Отношение плотностей цилиндра и жидкости в сосуде $\gamma = 0.7$. Цилиндр колеблется так что его ось всегда вертикальна. Амплитуда колебаний уровня жидкости равна $A = 1$ $mm$. Найдите период колебаний цилиндра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания в воде
Сообщение30.05.2022, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5037
ФТИ им. Иоффе СПб
profilescit в сообщении #1555896 писал(а):
Однородный цилиндр ... колеблется так что его ось всегда вертикальна
Это ничего, что однородные цилиндры вертикально плавать не умеют?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания в воде
Сообщение31.05.2022, 10:19 


18/05/15
697
amon в сообщении #1555898 писал(а):
Это ничего, что однородные цилиндры вертикально плавать не умеют?

Ну, на цилиндр можно наложить связь. Скорее всего, это не должно повлиять на суть задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания в воде
Сообщение04.06.2022, 07:09 
Заслуженный участник


03/01/09
1685
москва
$x_c, x_l$ отклонения координаты цилиндра и уровня жидкости от положения равновесия. Они связаны соотношением: $$-sx_c=(S-s)x_l\eqno (1).$$
Уравнение движения цилиндра:$$m_c\ddot x_c=\rho _lgs(x_l-x_c).$$
С учетом (1):$$\ddot x_c=-\omega ^2x_c, \omega ^2=\dfrac S{S-s}\dfrac {\rho _l}{\rho _c}\dfrac gh, T=\dfrac {2\pi }{\omega }\approx 0.074 s.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания в воде
Сообщение04.06.2022, 13:28 


18/05/15
697
Почему не учитывается сила тяжести цилиндра в уравнении движения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания в воде
Сообщение04.06.2022, 13:36 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
ihq.pl в сообщении #1556377 писал(а):
Почему не учитывается сила тяжести цилиндра в уравнении движения?
Она постоянная, соответственно, в уравнении движения этот добавочный член "убирается" заменой (сдвигом координатной оси) и на коэффициент при линейном члене не влияет. Как вариант, можно вспомнить аналогичную ситуацию с пружинным маятником: у горизонтального и вертикального маятников период колебаний (при прочих равных условиях) одинаковый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания в воде
Сообщение10.06.2022, 17:11 
Аватара пользователя


12/02/20
282
mihiv ответ конечно хороший, но на олимпиаде получил бы 5 из 10 возможных баллов. Тот факт что в численных значениях $s$ довольно близко к $S$ должно на что-то намекать :D

(Оффтоп)

я кстати тоже 5 из 10 баллов получил с таким же ответом

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания в воде
Сообщение10.06.2022, 23:43 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
profilescit
Это да. Не учли динамику движения столба воды между стенкой сосуда и цилиндром.
Тот случай, когда лучше применить энергетический подход. А он обычно всегда лучше.
Энергетический подход заключается в том, что считается разность потенциальных энергий системы цилиндр + столб воды и в положении равновесия и при максимальном отклонении, и приравнивается к кинетической энергии цилиндра + движения столба воды в положении равновесия. Отсюда можно найти скорость цилиндра в положении равновесия.
А силы - они такие. Неизвестно где и как приложены. Всегда можно ошибиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания в воде
Сообщение11.06.2022, 18:40 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Обозначим плотность цилиндра за $\rho$, а воды соответственно за $\rho_0$, высота цилиндра $h$
Пусть у нас цилиндр сместился из положения равновесия вниз на малую величину $y$.
То есть его потенциальная энергия уменьшилась на $P=s h \rho  gy$
Тогда уровень воды в цилиндре поднялся на $\frac{s}{S-s}y$
Расстояние от поверхности воды до дна цилиндра в положении равновесия будет $\gamma h$
И соответственно мы можем сосчитать, насколько изменилась потенциальная энергия воды в сосуде когда мы утопили цилиндр на $y$
Ведь вода со дна цилиндра переместилась в часть между стенок над первоначальным уровнем. То есть потенциальная энергия увеличилась на $P_0=sy \rho_0g(\frac{s}{S-s}\frac{y}{2}+\gamma h)$
То есть полное изменение потенциальной энергии будет $P_0-P=\frac{1}{2}\frac{s^2}{S-s}\rho_0 gy^2$
Теперь считаем полную кинетическую энергию цилиндра и воды при прохождении положения равновесия.
Если скорость цилиндра $v$, тогда скорость воды между стенками сосуда и цилиндром $\frac{s}{S-s}v$
И полная кинетическая энергия будет $K= \frac{1}{2} hs \rho v^2 + \frac{1}{2}(S-s) \gamma h \rho_0(\frac{s}{S-s})^2 v^2$

Остаётся приравнять обе энергии.
Получаем после сокращений:
$gy^2 = \frac{S}{s}\gamma hv^2$
Ну и с учётом $v=\omega y$ получаем, что
$\omega^2 =\frac{g}{h} \frac{s}{S} \frac{1}{\gamma}$

Как видим, почти вся кинетическая энергия уходит в движение воды, а не цилиндра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания в воде
Сообщение13.06.2022, 06:01 
Заслуженный участник


03/01/09
1685
москва
profilescit в сообщении #1555896 писал(а):
Амплитуда колебаний уровня жидкости равна $A = 1$ $mm$.

Непонятно это условие. Если это указание на малость колебаний, то она обычно подразумевается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания в воде
Сообщение13.06.2022, 08:14 
Аватара пользователя


11/12/16
13448
уездный город Н
Тут:
fred1996 в сообщении #1557118 писал(а):
То есть полное изменение потенциальной энергии будет $P_0-P=\frac{1}{2}\frac{s^2}{S-s}\rho_0 gy^2$

и тут:
fred1996 в сообщении #1557118 писал(а):
получаем, что
$\omega^2 =\frac{g}{h} \frac{s}{S} \frac{1}{\gamma}$


где-то "собака порылась".
При $S \to \infty$ получается, что поплавки в океане не колеблются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания в воде
Сообщение14.06.2022, 01:50 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
EUgeneUS
Нашел собаку.
Ведь вода переместилась не со дна цилиндра, а с чуть поглубже - на y/2
И тогда $P_0=sy\rho_0 g(\frac{S}{S-s}\frac{y}{2}+\gamma h)$
И в результате имеем ту же формулу, что и в океане:
$\omega^2=\frac{g}{h}\frac{1}{\gamma}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания в воде
Сообщение15.06.2022, 23:19 
Аватара пользователя


12/02/20
282
fred1996 да, вы правы. Энергетически подход тут спасает. Официальное решение дает и динамический подход, но там с оговорками.

Интересно то что от площадей период не зависит на самом деле.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group