Найти параметр, при котором многочлен имеет корень кратности

[Alexander__]

Условие:

При каком значении параметра $a$ многочлен $x^5-a x^2 - a x +1$ имеет $-1$ корнем не ниже второй кратности?

---

Начало решения понятно. Разделим многочлен $x^5-a x^2 - a x +1$ на многочлен $(x+1)^2$. Получим остаток от деления: $(5+a)(x+1)$. Остаток тождественно равен нулю относительно $a$ только при $a=-5$. Тогда исходный многочлен примет вид

$$x^5+5 x^2 + 5 x +1 = (x+1)^2 (x^3-2 x^2 + 3 x + 1)$$

Далее я задаюсь вопросом: т.к. по условию требуется кратность не ниже второй, то исследуем на кратность равную $3$. Если разделить многочлен $x^3-2 x^2 + 3 x + 1$ на $x+1$, то остаток будет $-5$, т.е. тождественно отличен от $0$, т.е. при $a=-5$ корень $-1$ имеет максимальную кратность равную $2$.

Другой способ. Разделим многочлен $x^5-a x^2 - a x +1$ на многочлен $(x+1)^3$. Получим остаток от деления: $-(1 + x) (5 + (10 + a) x)$. Верно ли сделать такой вывод, что для такого остатка не существует параметра $a$, при котором многочлен тождественно равен $0$ при любых $x$?

[nnosipov]

Alexander__ в сообщении #1557103 писал(а):

Верно ли сделать такой вывод, что для такого остатка не существует параметра $a$, при котором многочлен тождественно равен $0$ при любых $x$?

Ответ зависит от того, где "живет" $a$. Если $a$ --- это число, то ответ один. Если $a$ --- не число, то ответ может быть и другим. А в Вашем тексте про $a$ ничего не сказано. Кто он такой, этот $a$?

[Alexander__]

nnosipov в сообщении #1557108 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1557103 писал(а):

Верно ли сделать такой вывод, что для такого остатка не существует параметра $a$, при котором многочлен тождественно равен $0$ при любых $x$?

Ответ зависит от того, где "живет" $a$. Если $a$ --- это число, то ответ один. Если $a$ --- не число, то ответ может быть и другим. А в Вашем тексте про $a$ ничего не сказано. Кто он такой, этот $a$?

Подразумевается действительное. А какое ещё может быть, кроме ещё комплексного?

[nnosipov]

Многочлены обычно рассматривают над каким-нибудь полем (т.е. предполагают, что коэффициенты принадлежат некоторому полю). Один из самых важных примеров (в том числе и практически, не только в теории) --- это многочлены над конечными полями, например над полем вычетов $\mathbb{Z}_p$ по простому модулю $p$. При $p=5$ в Вашей задаче будет особенная ситуация. Но над любым числовым полем (или, более общо, над полем нулевой характеристики) все будет ожидаемо: при $a=-5$ корень $x=-1$ будет иметь кратность ровно $2$.

[Alexander__]

nnosipov в сообщении #1557120 писал(а):

Многочлены обычно рассматривают над каким-нибудь полем (т.е. предполагают, что коэффициенты принадлежат некоторому полю). Один из самых важных примеров (в том числе и практически, не только в теории) --- это многочлены над конечными полями, например над полем вычетов $\mathbb{Z}_p$ по простому модулю $p$. При $p=5$ в Вашей задаче будет особенная ситуация. Но над любым числовым полем (или, более общо, над полем нулевой характеристики) все будет ожидаемо: при $a=-5$ корень $x=-1$ будет иметь кратность ровно $2$.

Задача такого подхода не предполагала, но всё равно интересно. А что за особенная ситуация при $p=5$? У многочлена не будет корней?

[nnosipov]

Alexander__ в сообщении #1557122 писал(а):

У многочлена не будет корней?

Нет, при $a=-5$ у данного многочлена корень $x=-1$ будет иметь неожиданную кратность.

[xagiwo]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1557120 писал(а):

Многочлены обычно рассматривают над каким-нибудь полем

Эхх, а я сначала подумал, что Вы имеете в виду, что $a$ может быть ещё и многочленом...

[Alexander__]

nnosipov в сообщении #1557125 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1557122 писал(а):

У многочлена не будет корней?

Нет, при $a=-5$ у данного многочлена корень $x=-1$ будет иметь неожиданную кратность.

Почитал про классы вычетов. Элементы множества $\mathbb{Z}_5$ -- это классы вычетов по модулю 5, т.е. $\mathbb{Z}_5= \{\bar{0}..\bar{4}\}$. Обратный элемент $\bar{-1}$ будет $\bar{4}$. Т.е. $\bar{4}$ и $\bar{-1}$ являются корнями уравнения. Поэтому кратность $x=-1$ будет 4?

Увы, я не знаю алгебру. Пожалуйста, объясните что вы имеете ввиду.

-- 12.06.2022, 08:57 --

(Оффтоп)

xagiwo в сообщении #1557131 писал(а):

nnosipov в сообщении #1557120 писал(а):

Многочлены обычно рассматривают над каким-нибудь полем

Эхх, а я сначала подумал, что Вы имеете в виду, что $a$ может быть ещё и многочленом...

Хорошая идея! :) К счастью, в эту кроличью нору лезть не предполагается по условию задачи :)

[nnosipov]

Alexander__ в сообщении #1557142 писал(а):

Поэтому кратность $x=-1$ будет 4?

Правильный ответ $5$, потому что $x^5+1=(x+1)^5$ над полем $\mathbb{Z}_5$.

Собственно, что я хотел сказать. Говоря "многочлен", мы всегда должны уточнять, какова природа его коэффициентов (над каким полем или даже кольцом он задан). От этого будут зависеть многие свойства многочлена. Например, свойство быть приводимым (разложимым): многочлен $x^2+1$ неразложим над $\mathbb{R}$, но разложим над $\mathbb{C}$. Еще один важный момент: многочлен в алгебре --- это не функция, это именно формальное выражение с буковкой $x$, называемой переменной. Над полями $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ это различие не чувствуется (т.е. если два многочлена $f(x)$ и $g(x)$ определяют одну и ту же функцию, то они совпадают как выражения --- имеют одинаковые коэффициенты), но именно потому, что эти поля бесконечны. Над конечным полем $\mathbb{Z}_5$ многочлены $f(x)=x^5$ и $g(x)=x$ различны, но задаваемые ими функции $\mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5$ совпадают.

[Someone]

Alexander__ в сообщении #1557142 писал(а):

Почитал про классы вычетов. Элементы множества $\mathbb{Z}_5$ -- это классы вычетов по модулю 5, т.е. $\mathbb{Z}_5= \{\bar{0}..\bar{4}\}$. Обратный элемент $\bar{-1}$ будет $\bar{4}$. Т.е. $\bar{4}$ и $\bar{-1}$ являются корнями уравнения.

В поле $\mathbb Z_5$ это один и тот же элемент: $-\bar 1=\bar 4$. Противоположным элементу $\bar 4$ является $\bar 1$, так как $\bar 4+\bar 1=\bar 5=\bar 0$, а обратным — сам же элемент $\bar 4$, так как $\bar 4\times\bar 4=\overline{16}=\bar 1$.

[Alexander__]

Всё понятно. Благодарю за ответы!

[lel0lel]

Поскольку речь о поле вещественных чисел, то упомяну про производную, доказательство с помощью неё приведено не было.