Помогите решить уравнение

[ain1984]

Уважаемые участники форума, помогите, пожалуйста, найти ошибку в моих выкладках. Заранее благодарен.

Решить уравнение:

$(2x+\sqrt{3})\cdot\sqrt{4-x^2}=x$

Раскроем скобку:

$2x\cdot\sqrt{4-x^2}+\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-x^2}=x$

Внесём множители под знак корня:

$\sqrt{4\cdot4x^2-4x^2\cdot x^2}+\sqrt{4\cdot3-3x^2}=x$

$\sqrt{16x^2-4x^4}+\sqrt{12-3x^2}=x$

$\sqrt{16x^2-4x^4}=x-\sqrt{12-3x^2}$

$16x^2-4x^4=(x-\sqrt{12-3x^2})^2$

$16x^2-4x^4=x^2-2x\sqrt{12-3x^2}+12-3x^2$

$x^2-2x\sqrt{12-3x^2}+12-3x^2=16x^2-4x^4$

$x^2+12-3x^2-16x^2+4x^4=2x\sqrt{12-3x^2}$

$4x^4-18x^2+12=2x\sqrt{12-3x^2}$

$4x^4-18x^2+12=\sqrt{48x^2-12x^4}$

$2x^4-9x^2+6=\sqrt{12x^2-3x^4}$

$(2x^4-9x^2+6)(2x^4-9x^2+6)=12x^2-3x^4$

$4x^8-18x^6+12x^4-18x^6+81x^4-54x^2+12x^4-54x^2+36=12x^2-3x^4$

$4x^8-36x^6+108x^4-120x^2+36=0$

$4x^8-36x^6+108x^4-120x^2+36=0$

$x^8-9x^6+27x^4-30x^2+9=0$

$x^2=t$

$t^4-9t^3+27t^2-30t+9=0$

[mathematician123]

ain1984 в сообщении #1556438 писал(а):

$2x\cdot\sqrt{4-x^2}+\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-x^2}=x$

Внесём множители под знак корня:

$\sqrt{4\cdot4x^2-4x^2\cdot x^2}+\sqrt{4\cdot3-3x^2}=x$

Так делать нельзя. Для отрицательных $x$ это не работает. Например, $-3\sqrt{2} \ne \sqrt{(-3)^2 \cdot 2}$.

[xagiwo]

Вдобавок к предыдущему сообщению:
1. При возведении уравнений в квадрат появляются лишние корни, соответствующие тому, что левая и правая части равенства противоположны (это не значит, что возводить в квадрат нельзя, просто надо понимать, что не обязательно все решения нового уравнения являются решениями старого). Также могут появиться корни, в которых становится отрицательным подкоренное выражение.
2. Подстановка некоторого очевидного корня в последнее уравнение подсказывает, что других ошибок нет.
3. Много раз лучше не возводить уравнения в квадрат, потому что это резко повышает их степень усложняет вычисления, что и произошло. Попробуйте вернуться к исходному уравнению и обойтись одним возведением в квадрат. (P.S. а лучше вообще не возводить в квадрат, см. следующее сообщение)

[hpbhpb]

С помощью замены $x=2 \sin t$, где $-\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2} $ исходное уравнение легко решается.

[xagiwo]

hpbhpb в сообщении #1556447 писал(а):

С помощью замены $x=2 \sin t$, где $-\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2} $ исходное уравнение легко решается.

(а без неё не решается вообще никак, кстати. точнее, без замены можно свести всё к кубическому уравнению, у которого корни проблематично выразить в какой-то нормальной форме)

[ain1984]

mathematician123, спасибо, конечно, вы правы, я об этом не подумал.

hpbhpb, спасибо, но я не в ладах с тригонометрией, я хотел найти более простое решение.

xagiwo, спасибо за подсказку, сейчас попробую решить по-вашему.

[xagiwo]

ain1984 в сообщении #1556450 писал(а):

сейчас попробую решить по-вашему.

не выйдет.

ain1984 в сообщении #1556450 писал(а):

спасибо, но я не в ладах с тригонометрией, я хотел найти более простое решение.

лучше учите тригонометрию.

[nnosipov]

xagiwo в сообщении #1556449 писал(а):

без замены можно свести всё к кубическому уравнению, у которого корни проблематично выразить в какой-то нормальной форме

Ну, зачем же так пессимистично. Имеем уравнение

$$x^4+\sqrt{3}x^3-3x^2-4\sqrt{3}x-3=0.$$

После напрашивающейся замены $x=\sqrt{3}t$ получим

$$t^4+t^3-t^2-4/3t-1/3=0.$$

А после деления на $t+1$ будет

$$t^3-t-1/3=0,$$

что хорошо решается по формуле Кардано. Разумеется, ответ будет в тригонометрическом виде, но его все-таки можно получить не приходя в сознание.

[xagiwo]

nnosipov в сообщении #1556453 писал(а):

что хорошо решается по формуле Кардано

Это я и имел в виду под "проблематично выразить в какой-то нормальной форме". Обычно школьники не знают формулу Кардано. Да и тот, кто дал ТСу эту задачу, на такое наверняка обидится.

[Someone]

ain1984 в сообщении #1556438 писал(а):

Раскроем скобку:

$2x\cdot\sqrt{4-x^2}+\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-x^2}=x$

А зачем, собственно говоря? Уж если возводить в квадрат, то почему бы не сразу? Так, как написано. Квадратный корень исчезнет. Правда, вполне могут появиться посторонние корни, относящиеся к уравнению $(2x+\sqrt{3})\cdot\sqrt{4-x^2}=-x$, которые придётся каким-то образом отсеивать.

Это просто совет на будущее, а конкретно по этому уравнению Вам уже советов надавали.

[nnosipov]

xagiwo в сообщении #1556457 писал(а):

Обычно школьники не знают формулу Кардано.

Это смотря какие школьники. Есть и те, что изучают "Современную элементарную алгебру" Гашкова (как пример). В любом случае исходная задача носит трюковый характер, обычным школьникам ее предлагать не особо осмысленно.