Элементарный вопрос про замкнутые множества

[YuryS]

Пусть $X$ - метрическое пространство.
Возьмем в нем открытый и замкнутый шары $B[x,r)$ и $B[x,r]$.
Помним, что для них выполняется, в общем случае, включение $Cl_X (B[x,r) ) \subseteq B[x,r]$, но не равенство, где $Cl_X(A)$ есть замыкание множества $A$ в пространстве $X$.
Вопрос - показать, что замкнутые множества в $Cl_X (B[x,r) ) $ являются замкнутыми множествами в $B[x,r]$.

[Someone]

YuryS в сообщении #1556383 писал(а):

Вопрос - показать, что замкнутые множества в $Cl_X (B[x,r) ) $ являются замкнутыми множествами в $B[x,r]$.

А как определяется индуцированная топология на подмножестве топологического пространства?

[YuryS]

Замкнутые множества в $Z \subseteq X$ есть множества
$ V \cap Z $ , где $V$ есть некоторое замкнутое множество в $ X $.
Не соображу, как конкретно это применить ...

[Someone]

YuryS в сообщении #1556390 писал(а):

Не соображу, как конкретно это применить ...

А что такое

YuryS в сообщении #1556383 писал(а):

$Cl_X(B[x,r))$?

[YuryS]

$Cl_X ( B[x,r) ) $ замкнуто в $X$ и в самом себе.
Как показать, что оно замкнуто в $B[x,r]$ я не вижу.
Кроме того, это не будет ответом на первоначальный вопрос.

Оффтоп: почему при нажатии "предпросмотр" у меня часто происходит выход на страницу входа в форум,
а всё набранное стирается ?

[Someone]

YuryS в сообщении #1556399 писал(а):

Как показать

Сопоставить то, что Вы написали в двух последних сообщениях.

Извините, но правила форума запрещают давать готовые решения простых учебных задач. А это даже не простая, а простейшая среди простейших. И здесь даже намёк сделать непросто, чтобы не получилось готового решения. А я Вам уже три намёка изобрёл.

-- Сб июн 04, 2022 20:21:49 --

(YuryS)

YuryS в сообщении #1556399 писал(а):

Оффтоп: почему при нажатии "предпросмотр" у меня часто происходит выход на страницу входа в форум,
а всё набранное стирается ?

Не знаю. Попробуйте спросить об этом в разделе "Работа форума".

[YuryS]

Да, спасибо, додумался - задача решается за 2 шага:
1) рассматривая $B[x,r]$ как подпространство пространства $X$,
выводим, что $Cl_X(B[x,r))$ является замкнутым в $B[x,r]$,
поскольку оно замкнуто в $X$ и получается пересечением самого себя с $B[x,r]$;
2) далее, мы доказываем общее утверждение, что если подпространство $Z$ замкнуто в $X$,
то все замкнутые подмножества множества $Z$ являются замкнутыми в $X$.
Проще у меня не получилось, поэтому я бы не назвал эту задачу простейшей.