Переход от поглощательной способности к температуре

[nonplag]

Условие задачи:
Для длины волны $\lambda=0,6$ мкм испускательная способность тела $r_{\lambda T}$ равна испускательной способности абсолютно черного тела, имеющего температуру $T_1=3000$ К. Найти температуру данного тела $T_2$, если его поглощательная способность для этой длины волны равна $\alpha_{\lambda T}=0,5$.
Пытался понять логику решения, но так и не смог. Не могу понять, как перейти от поглощательной способности к температуре.

По формуле Планка:

$$r_{\lambda T}=\frac{c}{\lambda^2}\cdot r_{\nu T}$$

но я не понимаю как мне выразить $r_{\nu T}$.

Пытался иначе. По закону Кирхгофа:

$$\frac{E_{\lambda T}}{\alpha_{\lambda T}}=r_{\lambda T}$$

но тут я не понимаю как мне найти излучательную способность $E_{\lambda T}$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[SNS2D]

Такое впечатление, что в формулировке задачи вместо $r_{\lambda T}$ должно быть $E_{\lambda T}$, а вместо $T_2$ --- просто $T$, так как в приведенной записи закона Кирхгофа подразумевается, что $E_{\lambda T}$ --- испускательная способность данного тела при температуре $T$, а $r_{\lambda T}$ --- испускательная способность абсолютно черного тела при той же температуре. Тогда задача сводится к решению очень простого (при известной величине $\alpha_{\lambda T} = 0.5$) уравнения $\alpha_{\lambda T} r_{\lambda T} = r_{\lambda T_1}$ относительно $T$.

[GraNiNi]

nonplag в сообщении #1555932 писал(а):

Не могу понять, как перейти от поглощательной способности к температуре.

Поглощательная способность тела численно равна степени
черноты тела, которая характеризует как излуча­тельную, так и поглощательную способность.

То есть, наше нагретое тело, в данном случае, излучает только половину ($\alpha_{\lambda T}=0,5$) энергии по сравнению с абсолютно черным телом при их одинаковой температуре (3000 К).

Поэтому, чтобы тело излучало такое же количество энергии, как и АЧТ при 3000 К, его температура должна быть больше, а именно, такой, чтобы отношение температур $T_2$ к $T_1$ в четвертой степени равнялось 2.

[SNS2D]

GraNiNi в сообщении #1556135 писал(а):

Поэтому, чтобы тело излучало такое же количество энергии, как и АЧТ при 3000 К, его температура должна быть больше, а именно, такой, чтобы отношение температур $T_2$ к $T_1$ в четвертой степени равнялось 2.

Нет, поскольку речь идет о конкретной длине волны, надо пользоваться не интегральным законом Стефана-Больцмана, а формулой Планка.

[Geen]

SNS2D в сообщении #1556214 писал(а):

поскольку речь идет о конкретной длине волны

то как тогда вообще можно что-то утверждать про температуру тела?

[GraNiNi]

SNS2D в сообщении #1556214 писал(а):

Нет, поскольку речь идет о конкретной длине волны, надо пользоваться не интегральным законом Стефана-Больцмана, а формулой Планка.

"В случае если тело не является абсолютно чёрным, то спектр его равновесного теплового излучения не описывается законом Планка, но связан с ним законом излучения Кирхгофа. Согласно этому закону, отношение излучательной и поглощательной способностей тела одинаково для всех длин волн и зависит только от температуры."
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 0%BA%D0%B0

[SNS2D]

Geen в сообщении #1556216 писал(а):

SNS2D в сообщении #1556214 писал(а):

поскольку речь идет о конкретной длине волны

то как тогда вообще можно что-то утверждать про температуру тела?

$r_{\lambda T}$ --- это дифференциальная испускательная способность АЧТ, имеющего температуру $T$, т.е. в интервале длин волн от $\lambda$ до $\lambda + d\lambda$ АЧТ испускает энергию $r_{\lambda T}d\lambda$. Интегрирование формулы Планка для $r_{\lambda T}$ по $d\lambda$ дает $T^4$, а в этой задаче важна только температурная зависмость $r_{\lambda T} \propto \left(e^{hc/\lambda kT} - 1 \right)^{-1}$ при фиксированной $\lambda$.

GraNiNi в сообщении #1556222 писал(а):

"В случае если тело не является абсолютно чёрным, то спектр его равновесного теплового излучения не описывается законом Планка, но связан с ним законом излучения Кирхгофа. Согласно этому закону, отношение излучательной и поглощательной способностей тела одинаково для всех длин волн и зависит только от температуры." https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 0%BA%D0%B0

Вот корректная формулировка закона Кирхгофа (Сивухин, Оптика, параграф 113): ``Отношение лучеиспускательной способности тела к его поглощательной способности есть универсальная функция частоты и температуры тела, равная лучеиспускательной способности абсолютно черного тела.'' Ни о какой независимости от длины волны речи здесь быть не может.

[GraNiNi]

SNS2D в сообщении #1556227 писал(а):

в этой задаче важна только температурная зависмость $r_{\lambda T} \propto \left(e^{hc/\lambda kT} - 1 \right)^{-1}$ при фиксированной $\lambda$.

Все верно, но тогда по-простому (через отношения температур) не получится. Придется вычислять, используя числовые значения всех постоянных в формуле (Планка, Больцмана, скорость света), которые отсутствуют в условии задачи.

[SNS2D]

GraNiNi в сообщении #1556311 писал(а):

Придется вычислять, используя числовые значения всех постоянных в формуле (Планка, Больцмана, скорость света), которые отсутствуют в условии задачи.

Все мировые постоянные присутствуют в условии любой задачи (относящейся к нашему миру).