Выражение замкнутой формы для частичных сумм

[kthxbye]

Пусть $a(n)$ - это A103318, число таких $i$ в диапазоне $[0,n-1]$, что $i \equiv 0 \pmod {2^{n-i}}$.

Последовательность начинается так:

$$1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 2$$

Пусть $b(n)$ - это последовательность частичных сумм $a(n)$.

Начинается она так:

$$1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 16, 19, 20, 22, 24, 26, 27, 29, 31, 34, 36$$

Найдите выражение замкнутой формы для $b(n)$ используя суммирование, степени двойки и две двоичные функции:

$$\ell(n)=\left\lfloor\log_{2}(n)\right\rfloor$$

а также

$$T(n,k)=\left\lfloor\frac{n}{2^k}\right\rfloor\operatorname{mod}2$$

Здесь $T(n,k)$ - это $(k+1)$-й справа бит в двоичном представлении $n$.

[kthxbye]

Если сделать в ответе малюсенький change (то бишь небольшую замену), то получаем выражение замкнутой формы для частичных сумм $c(n)$ где $\frac{c(n)-1}{2}=$ A103528. Это получается намного проще, чем приведенное там выражение с рекурсивным использованием $\operatorname{XOR}$'а в A102371.