Колебания в воде

[profilescit]

Однородный цилиндр высоты $h = 10$ $cm$ и площади поперечного сечения $s = 100$ $ cm^2$ плавает в цилиндрическом сосуде высоты $H = 20$ $ cm$ и площади поперечного сечения $S = 102$ $ cm^2$. Отношение плотностей цилиндра и жидкости в сосуде $\gamma = 0.7$. Цилиндр колеблется так что его ось всегда вертикальна. Амплитуда колебаний уровня жидкости равна $A = 1$ $mm$. Найдите период колебаний цилиндра.

[amon]

profilescit в сообщении #1555896 писал(а):

Однородный цилиндр ... колеблется так что его ось всегда вертикальна

Это ничего, что однородные цилиндры вертикально плавать не умеют?

[ihq.pl]

amon в сообщении #1555898 писал(а):

Это ничего, что однородные цилиндры вертикально плавать не умеют?

Ну, на цилиндр можно наложить связь. Скорее всего, это не должно повлиять на суть задачи.

[mihiv]

$x_c, x_l$ отклонения координаты цилиндра и уровня жидкости от положения равновесия. Они связаны соотношением:

$$-sx_c=(S-s)x_l\eqno (1).$$

Уравнение движения цилиндра:

$$m_c\ddot x_c=\rho _lgs(x_l-x_c).$$

С учетом (1):

$$\ddot x_c=-\omega ^2x_c, \omega ^2=\dfrac S{S-s}\dfrac {\rho _l}{\rho _c}\dfrac gh, T=\dfrac {2\pi }{\omega }\approx 0.074 s.$$

[ihq.pl]

Почему не учитывается сила тяжести цилиндра в уравнении движения?

[Pphantom]

ihq.pl в сообщении #1556377 писал(а):

Почему не учитывается сила тяжести цилиндра в уравнении движения?

Она постоянная, соответственно, в уравнении движения этот добавочный член "убирается" заменой (сдвигом координатной оси) и на коэффициент при линейном члене не влияет. Как вариант, можно вспомнить аналогичную ситуацию с пружинным маятником: у горизонтального и вертикального маятников период колебаний (при прочих равных условиях) одинаковый.

[profilescit]

mihiv ответ конечно хороший, но на олимпиаде получил бы 5 из 10 возможных баллов. Тот факт что в численных значениях $s$ довольно близко к $S$ должно на что-то намекать

(Оффтоп)

я кстати тоже 5 из 10 баллов получил с таким же ответом

[fred1996]

profilescit
Это да. Не учли динамику движения столба воды между стенкой сосуда и цилиндром.
Тот случай, когда лучше применить энергетический подход. А он обычно всегда лучше.
Энергетический подход заключается в том, что считается разность потенциальных энергий системы цилиндр + столб воды и в положении равновесия и при максимальном отклонении, и приравнивается к кинетической энергии цилиндра + движения столба воды в положении равновесия. Отсюда можно найти скорость цилиндра в положении равновесия.
А силы - они такие. Неизвестно где и как приложены. Всегда можно ошибиться.

[fred1996]

Обозначим плотность цилиндра за $\rho$, а воды соответственно за $\rho_0$, высота цилиндра $h$
Пусть у нас цилиндр сместился из положения равновесия вниз на малую величину $y$.
То есть его потенциальная энергия уменьшилась на $P=s h \rho gy$
Тогда уровень воды в цилиндре поднялся на $\frac{s}{S-s}y$
Расстояние от поверхности воды до дна цилиндра в положении равновесия будет $\gamma h$
И соответственно мы можем сосчитать, насколько изменилась потенциальная энергия воды в сосуде когда мы утопили цилиндр на $y$
Ведь вода со дна цилиндра переместилась в часть между стенок над первоначальным уровнем. То есть потенциальная энергия увеличилась на $P_0=sy \rho_0g(\frac{s}{S-s}\frac{y}{2}+\gamma h)$
То есть полное изменение потенциальной энергии будет $P_0-P=\frac{1}{2}\frac{s^2}{S-s}\rho_0 gy^2$
Теперь считаем полную кинетическую энергию цилиндра и воды при прохождении положения равновесия.
Если скорость цилиндра $v$, тогда скорость воды между стенками сосуда и цилиндром $\frac{s}{S-s}v$
И полная кинетическая энергия будет $K= \frac{1}{2} hs \rho v^2 + \frac{1}{2}(S-s) \gamma h \rho_0(\frac{s}{S-s})^2 v^2$

Остаётся приравнять обе энергии.
Получаем после сокращений:
$gy^2 = \frac{S}{s}\gamma hv^2$
Ну и с учётом $v=\omega y$ получаем, что
$\omega^2 =\frac{g}{h} \frac{s}{S} \frac{1}{\gamma}$

Как видим, почти вся кинетическая энергия уходит в движение воды, а не цилиндра.

[mihiv]

profilescit в сообщении #1555896 писал(а):

Амплитуда колебаний уровня жидкости равна $A = 1$ $mm$.

Непонятно это условие. Если это указание на малость колебаний, то она обычно подразумевается.

[EUgeneUS]

Тут:

fred1996 в сообщении #1557118 писал(а):

То есть полное изменение потенциальной энергии будет $P_0-P=\frac{1}{2}\frac{s^2}{S-s}\rho_0 gy^2$

и тут:

fred1996 в сообщении #1557118 писал(а):

получаем, что
$\omega^2 =\frac{g}{h} \frac{s}{S} \frac{1}{\gamma}$

где-то "собака порылась".
При $S \to \infty$ получается, что поплавки в океане не колеблются.

[fred1996]

EUgeneUS
Нашел собаку.
Ведь вода переместилась не со дна цилиндра, а с чуть поглубже - на y/2
И тогда $P_0=sy\rho_0 g(\frac{S}{S-s}\frac{y}{2}+\gamma h)$
И в результате имеем ту же формулу, что и в океане:
$\omega^2=\frac{g}{h}\frac{1}{\gamma}$

[profilescit]

fred1996 да, вы правы. Энергетически подход тут спасает. Официальное решение дает и динамический подход, но там с оговорками.

Интересно то что от площадей период не зависит на самом деле.