Решение дифференциального уравнения операционными методами

[Metro]

Возникли проблемы с решение дифференциального уравнения.
Дано такое уравнение $x'' + 2x' + x = 2\cos^{2}t$ с начальными условиями $x(0) = 0 , x'(0) = 0$
Используя операционные методы я перешел к такими изображениям:
$x(t) \to X(p) ; x'(t) \to pX(p) ; x''(t) \to p^{2}X(p)$
$2\cos^{2}t = 2(\frac{1 - \cos2t}{2}) = 1 - \cos2t \to 1 - \frac{p}{p^{2}+4} = \frac{p^{2}+p+4}{p^{2}+4}$
После перехода получил:
$p^{2}X(p) + 2pX(p) + X(p) = \frac{p^{2}+p+4}{p^{2}+4}$
$(p^{2} + 2p + 1)X(p) = \frac{p^{2}+p+4}{p^{2}+4}$, где $(p^{2} + 2p + 1) = (p + 1)^{2}$
$(p + 1)^{2}X(p) = \frac{p^{2}+p+4}{p^{2}+4} \to X(p) = \frac{p^{2}+p+4}{(p^{2}+4)(p + 1)^{2}}$
Дальше используя метод неопределенных коэффициентов:
$X(p) = \frac{p^{2}+p+4}{(p^{2}+4)(p + 1)^{2}} = \frac{A}{(p + 1)} + \frac{B}{(p + 1)^{2}} + \frac{Cp + D}{(p^{2}+4)}$
Получил систему неопределенных коэффициентов, решив которую получил значение для этих коэффициентов:

$$ \begin{cases} A + C = 0\\ A + B + 2C + D = 1\\ 4A + C + 2D = 1\\ 4A + 4B + D = 4 \end{cases} $$

$A = \frac{3}{25} ; B = \frac{4}{5} ; C = - \frac{3}{25} ; D = \frac{8}{25} $
Записал итоговое решение и перешел обратно к оригиналам:
$X(p) = \frac{3}{25}\frac{1}{p+1} + \frac{4}{5}\frac{1}{(p+1)^{2}} + \frac{8}{25}\frac{1}{(p^{2}+4)} - \frac{3}{25}\frac{p}{(p^{2}+4)}$

$\frac{1}{p+1} \to e^{-t}$
$\frac{1}{(p+1)^{2}} \to \sin t$
$\frac{1}{(p^{2}+4)} \to \frac{1}{2}\sin2t$
$\frac{p}{(p^{2}+4)} \to \cos2t$

$x(t) = \frac{3}{25}e^{-t} + \frac{4}{5}\sin t + \frac{8}{25}\frac{1}{2}\sin2t - \frac{3}{25}\cos2t$
После получения решения я принялся за его проверку. Сначала решил проверить начальные условия $x(t = 0) = 0 , x'(t = 0) = 0$.
Первое начальное условие решение прошло: $x(0) = \frac{3}{25}e^{0} + \frac{4}{5}\sin 0 + \frac{8}{25}\frac{1}{2}\sin0 - \frac{3}{25}\cos0 = \frac{3}{25} - \frac{3}{25} = 0$
А вот второе уже нет, при подстановке $t=0$ для $x'(t)$ получается: $x'(0) = -\frac{3}{25}e^{0} + \frac{4}{5}\cos 0 + 2\frac{8}{25}\frac{1}{2}\cos0 + 2\frac{3}{25}\sin0 = 1$
Дальше проверку подстановкой решения $x(t)$ в уравнение $x'' + 2x' + x = 2\cos^{2}t$ я делать не стал, ибо на этапе начальных условий все рушится. Что в целом мне и не понятно. Ошибок вроде как и нет, все проверил. Система с коэффициентами решена верно, переходы от оригинала к изображениям и обратно тоже совершены корректно. Была идея что переход $2\cos^{2}t = 2(\frac{1 - \cos2t}{2}) = 1 - \cos2t \to 1 - \frac{p}{p^{2}+4} = \frac{p^{2}+p+4}{p^{2}+4}$ возможно является ошибкой, да вроде как все легально.
Уже не знаю что думать и где искать эту коварную ошибку.

[svv]

Metro в сообщении #1555744 писал(а):

$2\cos^{2}t = 2(\frac{1 {\color{magenta}-} \cos2t}{2}) = 1 {\color{magenta}-} \cos2t \to 1 {\color{magenta}-} \frac{p}{p^{2}+4} = \frac{p^{2}+p+4}{p^{2}+4}$

$2\cos^{2}t = 1+\cos 2t$, а не $1-\cos 2t$
Но эта ошибка каким-то образом самоисправилась в конце строки. А вот в той же строке Вы заменяете оригинал $1$ на изображение $1$, хотя изображением $1$ является $\frac 1 p$.