Не понимаю, как задано дифференциальное уравнение

[Kevsh]

Есть такая задача:
$x'=\frac{\alpha - x}{\alpha }\beta x-\kappa x$, $t>0,$
$x(0)=x_0$
Тут $x_0$, $\alpha$, $\kappa $ и $\beta$ - данные в условии величины. При этом функция $x(t)$, собственно, изменяется при изменении $t$. Где эта $t$? Мы по ней берём производную, но на правую часть равенства она никак не влияет?
Далее всё это дело преобразуется в такой вид:
$y'=y(1-y)-py$
$y(0)=y_0$
где $y=\frac{x}{\alpha}$, $\tau=\beta t$, $p=\frac{\kappa}{\beta}$, $y_0=\frac{x_0}{\alpha }$, но тут возникает тот же вопрос. Есть $\tau$, которая зависит от $t$, но она нигде не используется. Есть начальное условие, но вместо какой переменной подставлять этот $0$ - не понимаю.

[nnosipov]

Kevsh в сообщении #1555626 писал(а):

Где эта $t$?

Ну как где? Внутри :) Внутри $x'$, что трактуется как $dx/dt$ (производная функции $x=x(t)$).

Вот классическое уравнение $x'=x$ Вас же не смущает (надеюсь)?

[Kevsh]

nnosipov
То есть получается, что $t$ исчезла при взятии производной и график производной никак не зависит от этой переменной?

[nnosipov]

Kevsh в сообщении #1555630 писал(а):

То есть получается, что $t$ исчезла при взятии производной и график производной никак не зависит от этой переменной?

Никуда $t$ не исчезает, что за странные фантазии. Если хотите, запишите уравнение в виде $x'(t)=x(t)$. Вот оно там, это $t$, оно есть. В общем, не понимаю я, чего Вы не понимаете здесь.

[novichok2018]

переменные делятся...

[svv]

Kevsh
В таких случаях говорят, что правая часть уравнения не зависит от $t$ явно.
Но неявно правая часть зависит от $t$, поскольку входящая в неё переменная $x$ является функцией $t$.

[TOTAL]

Автономная система дифференциальных уравнений — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда аргумент ${\displaystyle t} $ системы не входит явным образом в функции, задающие систему.

[пианист]

Возможно, пониманию поспособствует такое наблюдение: если $x = f(t)$ решение автономного ду, то и $x = f(t + C)$ для любой константы $C$ тоже решение.

[EUgeneUS]

Возможно, тут надо начать с самого начала.
Несмотря на некоторую схожесть обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с уравнениями от двух переменных, между ними есть кардинальное различие.

Например, уравнение от двух переменных $x^2 + y^2 = 9$ задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $3$. Но задаёт в том смысле, что каждая точка этой окружности является решением уравнения.

Задачей же решения ОДУ является не нахождение "точек", то есть пар чисел, а является нахождение функции (или набора функций).

Возвращаясь к уравнению в стартовом посте:

Kevsh в сообщении #1555626 писал(а):

$x'=\frac{\alpha - x}{\alpha }\beta x-\kappa x$, $t>0,$

Это всего лишь сокращенная для такого:
$\frac{d x}{dt}=\frac{\alpha - x(t)}{\alpha }\beta x(t) -\kappa x(t)$, $t>0,$

И после преобразований всё тоже самое. Вот тут

Kevsh в сообщении #1555626 писал(а):

$y'=y(1-y)-py$
$y(0)=y_0$

Надо всё время помнить, что это означает:
$\frac{d y}{d t}=y(t) (1-y(t))-py(t)$; $y(0)=y_0$

То есть никуда переменная "не делась". Как стояла задача найти функцию (от переменной), так она и осталась.

[nnosipov]

EUgeneUS в сообщении #1555653 писал(а):

Например, уравнение от двух переменных $x^2 + y^2 = 9$ задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $3$.

И на это уравнение можно взглянуть как на уравнение с (двумя) неизвестными функциями $x=x(t)$ и $y=y(t)$. Такая задача является вполне осмысленной, если искать решения в каком-нибудь функциональном классе (например, в классе рациональных функций от переменной $t$). В любом случае нужно отдавать себе отчет в том, что ищется (объект какой природы) в данном уравнении. Тогда и мыслей о том, что "что-то исчезло" не будет возникать.

[Null]

EUgeneUS в сообщении #1555653 писал(а):

$\frac{d y}{d t}=y(t) (1-y(t))-py(t)$; $y(0)=y_0$

$\frac{d y}{d \tau}=y(\tau) (1-y(\tau))-py(\tau)$; $y(0)=y_0$

[EUgeneUS]

Null
Да, конечно, в данном примере также произошла замена переменной.

[Евгений Машеров]

Если Вы замените сокращённые обозначения на полные, в левой части t выйдет из подвала, а в правой выглянет из-за скобок.$\frac{d x}{dt}=\frac{\alpha - x(t)}{\alpha }\beta x(t) -\kappa x(t)$