Нелинейный Диффур

[MestnyBomzh]

Решить диффур $(2x+y-3) \cdot y'' + y' + (y')^2=0$ при начальных условиях $y(3)=3, y'(3)=\frac{1}{3}$
Я тут пытался угадать решение, чтобы потом применить теорему существования и единственности. Пробовал многочлен $y=ax^2+bx+c$, пробовал корень $y=a \sqrt{x} + b$, кстати с корнем практически получилось, но начальные условия не подошли. Логарифм тут тоже не подойдет, синусы и косинусы тоже, так что подбором не получилось у меня решить. А решать в лоб уравнение я пробовал через замену $y' = p, y'' = p' \cdot p$, ни к чему особенному это тоже не привело

[thething]

Вроде если продифференцировать уравнение один раз, а потом подставить в новое уравнение $(2x+y-3)$ из исходного уравнения и упростить, получается разложение на множители и возможное понижение порядка.

[MestnyBomzh]

thething в сообщении #1554111 писал(а):

Вроде если продифференцировать уравнение один раз, а потом подставить в новое уравнение $(2x+y-3)$

Из исходного ур-ия $(2x+y-3) = \frac{-y'-(y')^2}{y''}$
После дифференцирования уравнения и после подстановки получаю

$$ (2+y') \cdot y'' + \frac{(y')^2+y'}{y''} y''' + y'' + 2y' y'' =0 $$

Замена $z = y'$ плюс приведение слагаемых и разложение на множители дает

$$ (z+1) (3z'-\frac{z''}{z'}) = 0$$

Решение $z=-1$ не подходит из начальных условий (хотя однажды я на такое натыкался и не уверен, что тут можно просто так убрать скобку), так что остается

$$3z'-\frac{z''}{z'} = 0$$

Это решается с помощью понижения степени, получаю

$$ -\frac{3}{2}z^2+C_1 z = y + C_2 $$

Обратная замена дает уравнение

$$ \frac{3}{2} (y')^2 -C_1 y' + y + C_2 = 0 $$

Дальше я не понял как такое решать

[thething]

MestnyBomzh в сообщении #1554114 писал(а):

Замена $z = y'$ плюс приведение слагаемых и разложение на множители дает

$$ (z+1) (3z'-\frac{z''}{z'}) = 0$$

Во второй скобке $z$ потерялся. И ещё совет: используйте начальные условия сразу же, как только возникают константы. Не забудьте получить начальное условие $y''(3)=...$

Самое последнее уравнение у Вас (оно, конечно, неверное) -- это просто квадратное уравнение на производную Но вот чтобы не мучиться со случаями, надо как раз от констант и избавляться по ходу их возникновения.

[mihiv]

Можно еще ввести новую функцию $u(x)=2x+y-3$ и решать уравнение для нее.

[MestnyBomzh]

thething в сообщении #1554115 писал(а):

Во второй скобке $z$ потерялся.

Да, действительно

$$ 3z'-z\frac{z''}{z'} = 0$$

Решая через замену $p=z'$ получаем $ p = C z^3$
Из исходника получаем, что $p=y''(3)=-\frac{2}{27}$. Тогда так как $z(3)=\frac{1}{3}$ значит $p = -2z^3$
Далее обратная замена $p=z'$ и получаем $z'=-2z^3$, получаем что $z=\frac{1}{\sqrt{4y+C}}$
Теперь снова $z(3)=\frac{1}{3}$ и $y(3)=3$ получаем $C=-3$ и $z=\frac{1}{\sqrt{4y-3}}$
Пришли к такому уравнению

$$ y' = \frac{1}{\sqrt{4y-3}}$$

Решением этого уравнения будет

$$(4y-3)^{\frac{3}{2}}=\frac{12}{2}x+C$$

Из условия $y(3)=3$ получаем $C=9$
Тогда итоговый ответ

$$y = \frac{(6x+9)^{\frac{2}{3}}+3}{4}$$

-- 08.05.2022, 17:43 --

mihiv в сообщении #1554117 писал(а):

Можно еще ввести новую функцию $u(x)=2x+y-3$ и р

Могли бы тут поподробнее объяснить что делать? вот сделал я замену и получил $u(x, y) y'' + y' + (y')^2=0$, а дальше как работать с этим не очень пойму

[Someone]

MestnyBomzh в сообщении #1554130 писал(а):

вот сделал я замену и получил $u(x, y) y'' + y' + (y')^2=0$

Ну кто же так замену неизвестной функции делает… И там же было написано

mihiv в сообщении #1554117 писал(а):

$u(x)=2x+y-3$,

а вовсе не $u(x,y)$. Выражаете $y$, $y'$, $y''$ через $u$, подставляете в уравнение…

[MestnyBomzh]

Тогда после дифференцирования и выражения $y, y', y''$ получаю:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} y&=&u-2x+3 \\ y'&=&u'-2 \\ y''&=&u''\\ \end{array} \right. $$

Далее подставляю в исходник:
$u \cdot u'' + u'1+1+(u'+1)^2=0$
После раскрытия скобок
$u \cdot u'' + (u')^2-3u'+2=0$
Дальше тут я попробовал подставить $u'=p$, попробовал решить в 2 шага как однородное+неоднородное, но само неоднородное там снова распадается на однородное+неоднородное, мне кажется, я тут делаю что-то не так

[mihiv]

Можно заметить, что $uu''+(u')^2=(uu')'$.

[Someone]

MestnyBomzh в сообщении #1554148 писал(а):

После раскрытия скобок
$u \cdot u'' + (u')^2-3u'+2=0$
Дальше тут я попробовал подставить $u'=p$, попробовал решить в 2 шага как однородное+неоднородное

Не понял, какую подстановку Вы делали. Это уравнение стандартного типа: не содержащее в явном виде независимой переменной $x$. Стандартно в таких уравнениях рекомендуется принять $u$ за новую независимую переменную, $p=u'$ за новую неизвестную функцию. При этом, вообще говоря, теряются решения вида $u=C$, которые надо искать отдельно, так как независимая переменная не может быть константой (в данном случае таких решений нет, поэтому ничего и не потеряется). Если это проделать с данным уравнением, получится уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Проще ли воспользоваться тем, что предложил mihiv, не знаю.

[MestnyBomzh]

Someone в сообщении #1554153 писал(а):

Не понял, какую подстановку Вы делали.

я в исходник подставил вот эти значения

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} y&=&u-2x+3 \\ y'&=&u'-2 \\ y''&=&u''\\ \end{array} \right. $$

А значения эти получил диференцированием $u = 2x+y-3$

По поводу замены я согласен, но она приводит к следующему:

$$ \frac{p dp}{3p-2-p^2} = \frac{du}{u} $$

или

$$ (\frac{1}{p-1} - \frac{2}{p-2} ) dp = \frac{du}{u} $$

Интегрируя получаем

$$ \frac{(p-1)}{(p-2)^2} = C \cdot u^2 $$

Дальше делая обратную замену $p'=u$ получается снова что-то непонятное

[Someone]

MestnyBomzh в сообщении #1554154 писал(а):

я в исходник подставил вот эти значения

Я не об этой подстановке, а о

MestnyBomzh в сообщении #1554148 писал(а):

тут я попробовал подставить $u'=p$

Мне не ясно, заменяете ли Вы также и независимую переменную.

MestnyBomzh в сообщении #1554154 писал(а):

$$ (\frac{1}{p-1} - \frac{2}{p-2} ) dp = \frac{du}{u} $$

Интегрируя получаем

$$ \frac{(p-1)}{(p-2)^2} = C \cdot u^2 $$

Я не понял, откуда там $u^2$.
Кроме того, там получаются два частных решения $p=1$ и $p=2$. Первое из них получается из вашего при $C=0$, но в предыдущем выражении с логарифмами, которое Вы не выписали, $C$ не может быть нулём, а в том, которое Вы написали, должно быть $p\ne 1$ и $p\ne 2$. Но исходному уравнению $p=1$ и $p=2$ удовлетворяют.

MestnyBomzh в сообщении #1554154 писал(а):

Дальше делая обратную замену $p'=u$ получается снова что-то непонятное

А чего там непонятного? Для $p$ получается квадратное уравнение. Решаете его и получаете вполне берущиеся интегралы. Вы же студент, судя по решаемым задачам? Вот и тренируйтесь. А заранее в отчаяние впадать не надо. И, кстати, не $p'=u$, а $p=u'$.

P.S. И, наверное, будет проще, если определять произвольные постоянные из начальных условий по мере появления этих постоянных, не доводя дело до общего решения, если оно не требуется.

[mihiv]

MestnyBomzh в сообщении #1554130 писал(а):

алее обратная замена $p=z'$ и получаем $z'=-2z^3$, получаем что $z=\frac{1}{\sqrt{4y+C}}$

Тут ошибка, должно быть, конечно, $z=\frac 1{\sqrt {4x+C}}$

[thething]

mihiv в сообщении #1554172 писал(а):

Тут ошибка, должно быть, конечно, $z=\frac 1{\sqrt {4x+C}}$

Да и второе решение с противоположным знаком по пути потеряно.
MestnyBomzh, Вы куда-то торопитесь?

[MestnyBomzh]

Someone в сообщении #1554160 писал(а):

И, кстати, не $p'=u$, а $p=u'$.

ой да, тут я опечатался, конечно, я имел в виду $u'=p$ и тогда $u''=p'p$.
Да, вместо $u^2$ там должен быть просто $u$:

$$ \frac{(p-1)}{(p-2)^2} = C \cdot u $$

И да, вижу, что я разделил дважды на ноль. Рассмотрим отдельно для $p=1$:
Тогда $u=x+C$ и $x+C=2x+y-3$, но это не удовлетворяет нач условиям
Теперь $p=2$:
$u=2x+C$ и $2x+C=2x+y-3$, снова не удовлетворяет нач условиям

Теперь по константе. Так как $u'=2+y'$ тогда $u'(3) = \frac{7}{3}$
Подставляя в

$$ \frac{(p-1)}{(p-2)^2} = C \cdot u $$

$u(3)=6, u'(3)=p(3)=\frac{7}{3}$ получаем $C=2$
Теперь попробуем решить квадратное уравнение относительно $p$:
$p-1 = 2u(p^2-4p+4)$
$p^2\cdot 2u +p \cdot (-8u-1) + (8u+1)=0$
Решая как квадратное ур-ие получаем:
$p_{12} = \frac{8u+1 \pm \sqrt{8u+1}}{4u}$
Теперь так как $p=u'$ получаем

$$\frac{4u du}{8u+1 \pm \sqrt{8u+1}} = dx$$

Я умножил на сопряженное число, получил

$$\frac{8u+1 \mp \sqrt{8u+1}}{2(8u+1)} du = \frac{1}{2}(1 \mp (8u+1)^{\frac{-1}{2}})$$

После интегрирования получаем

$$ \frac{1}{2}u \mp \frac{1}{8} \sqrt{8u+1} = x + C $$

Из начального условия $u(3) = 6$ получаем, что $C=\pm \frac{7}{8}$

Дальше делаем замену $u=2x+y-3$
получаем $\frac{y-3}{2} \pm \frac{7}{8} = \pm \sqrt{16x+8y-23}$
Дальше в теории можно возвести в квадрат и решить квадратное ур-ие относительно игрека

-- 09.05.2022, 13:35 --

mihiv в сообщении #1554172 писал(а):

Тут ошибка, должно быть, конечно, $z=\frac 1{\sqrt {4x+C}}$

Да. Дело в том, что я держал в голове, что $z' = \frac{dz}{dy}$, а на самом деле это $z' = \frac{dz}{dx}$