Характер аппроксимации и высшие производные

[EminentVictorians]

Я планирую разобраться с многочленами и рядами Тэйлора, по ним у меня стабильный пробел в знаниях. Но для начала хочу понять один предварительный факт.

Пусть есть две функции $f, g$ вида $\mathbb R \to \mathbb R$. И пусть они будут бесконечно дифференцируемые в каждой точке области определения. В точке $x_0$ у функций $f$ и $g$ совпадают 0,1 и 2 производные (совпадение нулевых производных означает просто равенство значений в точке $x_0$: $f(x_0) = g(x_0)$). Положим функцию разности: $r(x) = f(x) - g(x)$. Верно ли я понимаю, что $r(x) \in o((x - x_0)^2)$ при $x \to x_0$?

И если это верно, то подскажите примерный пусть доказательства. Если что, пока я не знаю ни о каких многочленах и рядах Тэйлора, остаточных членах и т.д как бы не знаю. Но интегральное исчисление (в частности формулу Ньютона-Лейбница) использовать можно. Хотя конечно желательно бы доказать оставаясь чисто в рамках дифференциального исчисления.

[demolishka]

EminentVictorians в сообщении #1554141 писал(а):

примерный пусть доказательства

Правило Лопиталя. Ваш вопрос и есть обоснование формулы Тейлора (в качестве $g$ берется многочлен).

[EminentVictorians]

demolishka в сообщении #1554142 писал(а):

Правило Лопиталя. Ваш вопрос и есть обоснование формулы Тейлора (в качестве $g$ берется многочлен).

А я как раз думал, с чего начать: с Лопиталя или Тэйлора. Можно считать тогда вопрос закрытым, повторю Лопиталя и из него выведу все эти штуки, связанные с Тэйлором. Спасибо!

[thething]

EminentVictorians в сообщении #1554144 писал(а):

А я как раз думал, с чего начать: с Лопиталя или Тэйлора.

Начинать надо с Лагранжа. И учебник почитать. К примеру, первый том Фихтенгольца.