Угол между подпространством и вектором

[MestnyBomzh]

Задача
Есть пространство многочленов степени не выше 3. В нем задано скалярное произведение по формуле $<f, g> = f_0 g_0 +f_1 g_1 + f_2 g_2 + f_3 g_3$, где $f_i$ - коэффициенты многочлена $f$, $g_i$ - коэффициенты многочлена $g$.
Надо найти угол между многочленом $q(t) = 2+t+t^2$ и подпространством $L: \{1+2t+t^2+2t^3, 2+3t+t^2+3t^3, -4-5t-t^2-5t^3\}$
Решение
По сути задачу можно свести к обычному 4D пространству, сказав, что у нас есть вектор $\vec{a} = (2,1,1,0)$ и мы хотим найти угол между ним и под-вом, образованным векторами $(1, 2, 1, 2)$ и $(2,3,1,3)$ (третий вектор линейно зависим от этих двух). И вот тут если бы третий вектор не был линейно зависим, я бы просто нашел вектор нормали $\vec{n}$, он был бы одномерным, после чего я бы просто нашел угол между $\vec{a}$ и $\vec{n}$ через $\vec{a} \cdot \vec{n} = |\vec{a}| |\vec{n}| \cos{\alpha}$. Но, тут третий вектор оказался линейно зависим, поэтому у нас получается плоскость 2D в пространстве 4D, к ней ортогональной будет другая некая 2D плоскость, образованная уже не одним $\vec{n}$, а теперь двумя $\vec{n_1}, \vec{n_2}$. Как в таком случае найти угол?

[artempalkin]

MestnyBomzh в сообщении #1554102 писал(а):

Как в таком случае найти угол?

Принципиальной разницы нет, разложите вектор на ортогональную к плоскости составляющую и лежащую в плоскости.
Можно по Граму-Шмидту просто вытащить два вектора плоскости из нашего пробного вектора.

[thething]

MestnyBomzh
Достаточно найти проекцию вектора $a$ на линейную оболочку системы $L$, а потом найти угол между вектором и его проекцией. Проекция равна $c_1e_1+c_2e_2$, где $e_i$ -- элементы ортонормированной системы, $c_i=(a,e_i)$ -- коэффициенты Фурье.

[MestnyBomzh]

Да, спасибо за наводку!

Представляю вектор через разложение проекции и ортогональной составляющей: $v=\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + z$
Дальше умножаем левую и правую часть скалярно на $a_1$ и $a_2$:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} (v, a_1)&=\alpha_1 (a_1, a_1) + \alpha_2 (a_2, a_1)& \\ (v, a_2)&=\alpha_1 (a_1, a_2) + \alpha_2 (a_2, a_2)& \\ \end{array} \right.$$

Подставляя наши вектора и решая систему получаем $\alpha_1 = -1, \alpha_2 = 1$ и проекция $(1, 1, 0, 1)$
Дальше по известной формуле: $\cos(\beta) = \frac{2+1}{\sqrt{6} \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или 45 градусов