kkapitonets и гипотеза Римана

[kkapitonets]

Вот уж во истину "обещанного три года ждут" или бейте меня, но не больно.

— Софа, таки помнишь, как мы были счастливы шесть лет назад?
— Боря, но шесть лет назад мы и знакомы не были...
— Вот за это, Софа я и говорю!

У меня было три вопроса "почему" к Дзета функции Римана, и я нашел простые ответы на все три.

I) Почему Дзета функция Римана имеет нули?

Конечно, математики ответят, потому, что есть функция действительной переменной (Кси функция Римана или функция Харди), которая бесконечное количество раз меняет знак, поэтому имеет бесконечное количество нулей и эти нули савпалают с ординатами (мнимой частью) комплексной переменной при которых Дзета функции Римана обращается в ноль, при этом абсцисса (действительная часть) равна всегда 1/2.

Все бы ничего, но ряд Дирихле, которым определяется Дзета функция Римана расходится при значениях действительной части меньше 1.

Ответ был очевиден сразу, чтобы комплексная функция имела нули, необходимо, чтобы существовала конечная замкнутая система отрезков.

Сказано-сделано откладываем отрезки, соответствующие членам ряда Дирихле и получаем "спираль Римана".

Отрезки этой спирали удивительным образом группируются в несколько завитков (подобие спирали Корню, но спирали Корню), которые вращаются как единое целое при изменении мнимой части комплексной переменной, при этом невооруженным взглядом заметно, что расстояние между центрами завитков меняются только при изменении действительной части комплексной переменной.

Но самое главное, что центры этих завитков практически совпадают с серединами отрезков с номерами кратными числу \pi, а центр первого завитка совпадает со значением Дзета функции Римана при любых значениях действительной части комплексной переменной, даже в том случае, если ряд Дирихле расходится.

Собственно, конечная система отрезков получается из трех частей:

1) группа отрезков, соединяющих центры завитков;

2) группа отрезков, соответствующих членам ряда Дирихле;

3) маленький отрезочек, который соединяет первую и вторую группу отрезков.

Это и есть конечная система отрезков, которая соответствует формуле Римана-Зигеля.

Простой ответ (можно сказать я геометрическим способом открыл формулу Римана Зигеля) на сложный вопрос.

Кстати, отрезки соединяющие центры завитков, соответствуют вычетам, которые вычислял Риман.

С двумя другими вопросами было не так просто, но ответы оказались тоже простые.

II) Почему все методы обобщенного суммирования дают одинаковый результат?

У Харди есть увесистый том (студенты назвали бы его "кирпичем") посвященный доказательствам различных методов обобщенного суммирования.

Но монография Харди не дает ответа на этот вопрос.

Кстати, метод суммирования Чезаро я "открыл" самостоятельно (опять же геометрическим способом) при исследовании первого вопроса (надо же было вычислять координаты центров завитков).

Под влиянием работы Матиясевича, я выполнил еще одно исследование, связанное с значениями Дзета функции Римана в критической полосе и нашел универсальную функцию, однозначно соответствующую, как я показал позже опять таки методу суммирования Чезаро.

Но эта функция, найденная решением системы линейных уравнений все равно не давала ответа на поставленный вопрос.

Ответ пришел совершенно неожиданно при изучении третьего вопроса.

Я усиленно искал подходящие теоремы и совершенно случайно наткнулся на теорему Штольца, которая утверждает, что средние значения последовательности имеют такой же предел, что и сама последовательность.

Таким образом, простой ответ был снова найден.

Третий вопрос оказался самым сложным, я уже отчаивался найти на него ответ (но я все равно считал, что ответ должен быть простым), когда неожиданно мне попалась теорема о нулях вещественных ортогональных полиномов.

— Яша, мне кажется, ты сумасшедшей!
— Нет!
— Что нет?
— Тебе не кажется.

III) Почему все нули функции Харди должны быть простыми и вещественными?

За три года я перебрал не менее десятка разных оснований, но каждый раз приходил к выводу, что ни одно из них не годится как ответ на поставленный вопрос.

И тут такая удача.

Теорема о нулях вещественных ортогональных полиномов утверждает, что все нули этих полиномов простые и вещественные.

Утверждать то утверждает, но как показать, что функция Харди, которая (как аналитическая функция) определена бесконечным рядом Тейлора, так же имеет все простые и вещественные нули.

Ответ снова лежит на поверхности.

1) Необходим ортогональный базис, которому принадлежит функция Харди;

2) Необходима теорема, которая утверждает, что полиномы (при увеличении степени) своим пределом имеют ряд Тейлора.

И снова поиски, отчаяние и опять поиски.

Ответ оказался снова простой:

Ортогональный базис - базис гильбертова пространства вещественных функций суммируемых с квадратом $\hat{H}_r=L^2(a,b)_r$.

Функции, составляющие базис гильбертова пространства - обобщенная функция Харди.

Теорема, утверждающая что полиномы (при увеличении степени) своим пределом имеют обобщенный ряд Фурье (это еще круче, чем ряд Тейлора) - теорема о непрерывности скалярного произведения в гильбертовом пространстве.

— Простите, вы не подскажете, как пройти на Дерибасовскую?
— Ах, молодой человек, вы, наверное, впервые в Одессе. На Дерибасовскую не ходят, на Дерибасовскую гуляют постепенно...

Далее я перечислю простые утверждения (доказательства по запросу, не переписывать же здесь статью "The Hilbert space basis and Hilbert's eighth problem").

Определение 1 Функция Харди

$Z(t)=\zeta(1/2+it)e^{i\theta(t)}$

$e^{i\theta(t)}=\pi^{-it/2}\frac{\Gamma(1/4+1/2it)}{|\Gamma(1/4+1/2it)|}$

Определение 2 Полный универсальный ортогональный базис гильбертова пространства

Очевидно, что в гильбертовом пространстве $\hat{H}_r$ множество функций $\{1, x, x^2, x^3{...}x^{m-1}\}_{m=1}^{\infty}$ является полным универсальным базисом, тогда

Полным ортогональным базисом гильбертова пространства $\hat{H}_r$ будут обобщенные ряды Фурье, которые можно получить с помощью процедуры Грама-Шмидта

$\varphi(x)_n=\sum_{m=1}^{\infty}a_{nm}x^{m-1}$ (1)

где

$a_{nm}=\int_a^b\varphi(x)_n x^{m-1}dx$

коэффициенты Фурье $\varphi(x)_n$.

Следовательно, для любой $\varphi(x)_n$ будет выполняться следующее неравенство

$\Big|\varphi(x)_n-\sum_{m=1}^{M}a_{nm}x^{m-1}\Big|<\varepsilon$

Очевидно, что $\sum_{m=1}^{M}a_{nm}x^{m-1}$ является полиномом в отличии от ряда Фурье (1).

Утверждение 1 Об ортогональном базисе гильбертова пространства

Пусть $\{f(x)_k\}_{k=1}^{\infty}$ произвольный полный ортогональный базис $\hat{H}_r $ на любом промежутке $\{(a,b)_r\}_{r=1}^{\infty}\in\mathbb{R}$ отличный от полного универсального ортогонального базиса $\{\varphi(x)_n\}_{n=1}^{\infty}$.
Тогда если функция $f(x)\in\{f(x)_k\}_{k=1}^{\infty}$ имеет нули, то эти нули простые и вещественные.

Утверждение 2 О базисе гильбертова пространства, которому принадлежит функция Харди

В гильбертовом пространстве $\hat{H}_r$ на любом промежутке $\{(a,b)_r\}_{r=1}^{\infty}\in\mathbb{R}$ существует полный базис $\{Z(\lambda_k,t)\}_{k=1}^{\infty}$ где $\lambda_k\in\mathbb{Q}$, такой что функция $Z(1/2,t)\in\{Z(\lambda_k,t)\}_{k=1}^{\infty}$, которая определяет $|\zeta(s)|$ на критической прямой, имеет все простые и вещественные нули.

Определение 3 Обобщенная функция Харди

Произведение $\zeta(\sigma+it)e^{i\theta(t)}$ можно рассматривать как поворот системы координат на угол $-\theta(t)$, тогда вещественные функции $\Re\zeta(\sigma+it)e^{i\theta(t)}$ и $\Im\zeta(\sigma+it)e^{i\theta(t)}$ можно рассматривать отдельно.

Обозначим обобщенную функцию Харди знаком

$Z(\sigma, t)=\Re\zeta(\sigma+it)e^{i\theta(t)}$

$e^{i\theta(t)}=\pi^{-it/2}\frac{\Gamma(1/4+1/2it)}{|\Gamma(1/4+1/2it)|}$

Очевидно, что $Z(t)=Z(1/2, t)$

Утверждение 3 О базисе гильбертова пространства, который определен обобщенными функциями Харди

В гильбертовом пространстве $\hat{H}_r$ на любом промежутке $\{(a,b)_r\}_{r=1}^{\infty}\in\mathbb{R}$ существует полный базис $\{Z(\lambda_k,t)\}_{k=1}^{\infty}$, $\lambda_k\in\mathbb{Q}$, такой что функция $Z(1/2,t)\in\{Z(\lambda_k,t)\}_{k=1}^{\infty}$.

Утверждение 4 О процедуре Грама-Шмидта

Процедура ортогонализации Грама-Шмидта не оказывает влияния на функцию, принадлежащую базису гильбертова пространства, иметь простые и вещественные нули.

Это теперь они простые, а в 1859 году их не возможно было и помыслить, т.к. гильбертово пространство появилось только в 1912 году (нет оно, конечно, было, как и вся объективная реальность, которая нас окружает, но открыли мы его только, когда Гильберт написал свою работу "Основные выводы общей теории линейных интегральных уравнений").

Таким образом мы снова получили простой ответ

Функция Харди имеет простые и вещественные нули потому что она принадлежит полному базису гильбертова пространства $\hat{H}_r$

У меня было три вопроса "почему" к Дзета функции Римана и я нашел простые ответы на все три.

На это потребовалось три года, но теперь у меня нет вопросов к Дзета функции Римана.

— Семён Маркович, что же всё-таки толкнуло Вас на ограбление ювелирного магазина?
— Да вот, на витрине было написано: "Господа, не упустите свой шанс!"

[kotenok gav]

(Оффтоп)

kkapitonets в сообщении #1553837 писал(а):

"кирпичем"

Мечём, врачём, кирпичём... Чё по чём?

[vicvolf]

kkapitonets А как формулируется гипотеза Римана через функцию Харди?

[Aritaborian]

kkapitonets в сообщении #1553837 писал(а):

Сказано-сделано откладываем отрезки, соответствующие членам ряда Дирихле и получаем "спираль Римана".
Отрезки этой спирали удивительным образом группируются в несколько завитков (подобие спирали Корню, но спирали Корню), которые вращаются как единое целое при изменении мнимой части комплексной переменной, при этом невооруженным взглядом заметно, что расстояние между центрами завитков меняются только при изменении действительной части комплексной переменной.

А можно картинки посмотреть?

[kkapitonets]

vicvolf в сообщении #1553929 писал(а):

kkapitonets А как формулируется гипотеза Римана через функцию Харди?

Все нули функции Харди простые и вещественные

-- 05.05.2022, 19:05 --

Aritaborian в сообщении #1553934 писал(а):

kkapitonets в сообщении #1553837 писал(а):

Сказано-сделано откладываем отрезки, соответствующие членам ряда Дирихле и получаем "спираль Римана".
Отрезки этой спирали удивительным образом группируются в несколько завитков (подобие спирали Корню, но спирали Корню), которые вращаются как единое целое при изменении мнимой части комплексной переменной, при этом невооруженным взглядом заметно, что расстояние между центрами завитков меняются только при изменении действительной части комплексной переменной.

А можно картинки посмотреть?

спасибо Exp(0)=1 http://matt-diamond.com/zeta.html

завораживает?

[Aritaborian]

Спасибо. Может, перепишу на Wolfram Language в Mathematica.

[vicvolf]

kkapitonets в сообщении #1553946 писал(а):

vicvolf в сообщении #1553929 писал(а):

kkapitonets А как формулируется гипотеза Римана через функцию Харди?

Все нули функции Харди простые и вещественные

kkapitonets в сообщении #1553837 писал(а):

Функция Харди имеет простые и вещественные нули потому что она принадлежит полному базису гильбертова пространства $\hat{H}_r$

Значит Вы считаете, что доказали гипотезу Римана?

kkapitonets в сообщении #1553837 писал(а):

Я усиленно искал подходящие теоремы и совершенно случайно наткнулся на теорему Штольца, которая утверждает, что средние значения последовательности имеют такой же предел, что и сама последовательность.

А зачем Вам это потребовалось? Можно конкретнее?

[kkapitonets]

vicvolf в сообщении #1553973 писал(а):

kkapitonets в сообщении #1553946 писал(а):

vicvolf в сообщении #1553929 писал(а):

kkapitonets А как формулируется гипотеза Римана через функцию Харди?

Все нули функции Харди простые и вещественные

kkapitonets в сообщении #1553837 писал(а):

Функция Харди имеет простые и вещественные нули потому что она принадлежит полному базису гильбертова пространства $\hat{H}_r$

Значит Вы считаете, что доказали гипотезу Римана?

я считаю, что ответил на вопрос "почему какая-то функция (в том числе функция Харди), вообще, должна иметь все простые и вещественные нули", а на счет гипотезы Римана не мне судить, я ее доказывать не собирался

но выступать с докладом на XXI международной конференции в Туле 17-21 мая буду, вот там и посмотрим, что посчитают математики

тема доклада "Базис гильбертова пространства и восьмая проблема Гильберта" в секции Аналитическая теория чисел, руководитель секции Максим Королев, наш специалист по Дзета функции, ученик А.А. Карацубы

пока я получил конкретный вопрос

"Хочется конкретики: приведите пару лямбд (кроме $\lambda = 1/2$ у функции Харди), из полного базиса обобщённых функций Харди?
Существует ли вообще семейство ортогональных полиномов с вещественными корнями, в пределе дающими нули функции Харди?"

и дал ответ "множество дробей Фарея, множество рациональных чисел на любом отрезке изоморфно множеству натуральных чисел"

"ортогональные полиномы аппроксимируют на любом промежутке (a,b) любую функцию гильбертова пространства единственным способом, т.е. сами функции должны принадлежать гильбертову пространству, поэтому достаточно показать, что функция имеет второй момент, т.е. интегралл от функции в квадрате на (a,b), для этого достаточно, чтобы функция была ограничена на (a,b), ну и непрерывна по Лебегу"

-- 06.05.2022, 10:15 --

vicvolf в сообщении #1553973 писал(а):

А зачем Вам это потребовалось? Можно конкретнее?

я философ по убеждениям, я не собирался доказывать гипотезу Римана, но если доказал, то буду рад, потому что это будет означать, что я проник в тайны математики как никто другой, для меня важно это

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1553973 писал(а):

kkapitonets в сообщении #1553837 писал(а):

Я усиленно искал подходящие теоремы и совершенно случайно наткнулся на теорему Штольца, которая утверждает, что средние значения последовательности имеют такой же предел, что и сама последовательность.

А зачем Вам это потребовалось? Можно конкретнее?

Я спрашиваю ни о доказательстве ГР, а зачем Вам потребовалась теорема Штольца. Какую последовательность Вы здесь имеете в виду?

[kkapitonets]

vicvolf в сообщении #1553979 писал(а):

Я спрашиваю ни о доказательстве ГР, а зачем Вам потребовалась теорема Штольца. Какую последовательность Вы здесь имеете в виду?

У Харди есть монография "Расходящиеся ряды", в которой описано и доказано множество методов обобщенного суммирования, т.е. получение значений, которые приписываются расходящемуся ряду.

Начнем с того, что я не согласен, что значение надо приписывать, т.е. если функция существует, то должен существовать и сходящийся ряд.

Теорема Штольца утверждает, что таким рядом является последовательность средних значений.

Я искал основание для существования такого сходящегося ряда, который можно построить на основе расходящегося.

И таким основанием явилась теорема Штольца, которая одна заменяет целую монографию Харди и, кроме того, подтверждает мою догадку, что такой сходящийся ряд существует.

[Pphantom]

kkapitonets в сообщении #1553974 писал(а):

потому что это будет означать, что я проник в тайны математики как никто другой, для меня важно это

kkapitonets, а вы не могли бы проникнуть заодно в тайны пунктуации в русском языке и пользоваться заглавными буквами и знаками препинания?

[kkapitonets]

Pphantom в сообщении #1553986 писал(а):

kkapitonets в сообщении #1553974 писал(а):

потому что это будет означать, что я проник в тайны математики как никто другой, для меня важно это

kkapitonets, а вы не могли бы проникнуть заодно в тайны пунктуации в русском языке и пользоваться заглавными буквами и знаками препинания?

Да, конечно.

[Geen]

kkapitonets в сообщении #1553980 писал(а):

Теорема Штольца утверждает, что таким рядом является последовательность средних значений.

Будьте добры привести точную формулировку теоремы (с доказательством, если она отличается от "стандартной").

[kkapitonets]

Geen в сообщении #1553990 писал(а):

kkapitonets в сообщении #1553980 писал(а):

Теорема Штольца утверждает, что таким рядом является последовательность средних значений.

Будьте добры привести точную формулировку теоремы (с доказательством, если она отличается от "стандартной").

Это стандартная формулировка и доказательство.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1.

2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов

Формулировка и доказательство см. стр 67 (33. Теорема Штольца и ее применение).

Утверждение о варианте см. п.13 на стр. 69.

https://scask.ru/g_book_f_math1.php?id=33

[vicvolf]

kkapitonets в сообщении #1553980 писал(а):

vicvolf в сообщении #1553979 писал(а):

Я спрашиваю ни о доказательстве ГР, а зачем Вам потребовалась теорема Штольца. Какую последовательность Вы здесь имеете в виду?

У Харди есть монография "Расходящиеся ряды", в которой описано и доказано множество методов обобщенного суммирования, т.е. получение значений, которые приписываются расходящемуся ряду.

Начнем с того, что я не согласен, что значение надо приписывать, т.е. если функция существует, то должен существовать и сходящийся ряд.

Теорема Штольца утверждает, что таким рядом является последовательность средних значений.

Я искал основание для существования такого сходящегося ряда, который можно построить на основе расходящегося.

И таким основанием явилась теорема Штольца, которая одна заменяет целую монографию Харди и, кроме того, подтверждает мою догадку, что такой сходящийся ряд существует.

Послушайте, что за каша!

Да, теорема Штольца применима, как к сходящимся, так и расходящимся последовательностям. Но к числовым. Поэтому пределом их является число, а не функция. О существовании какой функции Вы говорите? Средние значения -это тоже числа, а не функции.

Потом последовательность и ряд - это совершенно разные вещи. Как может быть рядом последовательность? Ряд -это бесконечная сумма https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1 ... 0%BA%D0%B0).
У меня такое впечатление, что Вы плаваете в началах мат. анализа!