Распределение времени по распределению скорости

[Mathew Rogan]

Есть такая задача. Автомобиль должен преодолеть путь 1500 м, но его скорость является нормально распределённой случайной величиной, математическое ожидание которой 25 м/с, а среднеквадратичное отклонение 1 м/с.

Нужно исследовать распределение времени движения. Математическое ожидание, ясное дело, $t = s/v = $ 60 с. А как найти среднеквадратичное отклонение времени? В литературе по ТВИМС подобных задач не нашёл.

[Pphantom]

Mathew Rogan в сообщении #1553729 писал(а):

Математическое ожидание, ясное дело, $t = s/v = $ 60 с.

Я бы не сказал, что это настолько ясное дело.

Mathew Rogan в сообщении #1553729 писал(а):

В литературе по ТВИМС подобных задач не нашёл.

Вообще-то их там более чем много: ищите что-нибудь вроде "функции от случайной величины" и связи между функциями распределения случайной величины и функции от нее.

P.S. Кстати, задача по крайней мере формально немного странная: нормальное распределение скорости означает, что скорость может быть отрицательной. Оно там точно не логнормальное?

[waxtep]

Mathew Rogan в сообщении #1553729 писал(а):

Математическое ожидание, ясное дело, $t = s/v = $ 60 с.

А оно разве будет конечным? Ведь есть ненулевая вероятность, что автомобиль поедет в другую сторону. Если же все равно в какую сторону, видимо надо честно считать средние от $1/v,1/v^2$

[Mathew Rogan]

Нет, тут предполагается, что скорость по знаку не меняется.

Эта задача — вариация на задачу из Мещерского:

59.1. Самолет летит из начального в конечный пункт, расстояние между которыми равно 1500 км. Скорость полета v постоянна во времени для каждого полета, но для разных полетов принимает различные значения. Предполагается, что скорость представляет собой случайную величину с гауссовским распределением, с математическим ожиданием 250 м/с и средним квадратическим отклонением 10 м/с. Определить симметричный интервал для времени полета, соответствующий вероятности 0,999.

Ответ там даётся [5180 с; 6820 с].

Но я задумался более широко: как определить распределение времени, зная распределение скорости.

-- 01.05.2022, 14:42 --

Pphantom
Спасибо за наводку, что-то начинаю находить.

-- 01.05.2022, 15:06 --

Нашёл чудесные формулы для нахождения матожидания и дисперсии функции Y от случайной величины X, распределённой по закону p(x). Если $Y = \varphi (X)$, то
$M(Y)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi (x) p(x)dx $, $D(Y)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(\varphi (x) - M(Y))^2 p(x)dx $.

Правда, в данной конкретной задаче эти интегралы расходятся. Видимо, постановка задачи действительно странная.

[waxtep]

Mathew Rogan в сообщении #1553732 писал(а):

как определить распределение времени, зная распределение скорости

Вы это наверняка найдете в рекомендованной литературе, если совсем коротко, можно записать вероятность того, что скорость принадлежит диапазону $(v, v+dv)$, а соответствующее время - $(t,t+dt)$ как $dP=f(v)dv=g(t)dt$, где $f,g$ - соответствующие функции плотности вероятности. Конкретно в этой задаче $g(t)=sf(s/t)/t^2$; среднее у такого распределения (если $f$ - гауссиана), на удивление, бесконечно.

[Geen]

Mathew Rogan в сообщении #1553732 писал(а):

Видимо, постановка задачи действительно странная.

Попробуйте, как выше советовали, логнормальное распределение...

[Mathew Rogan]

С логнормальным распределением интегралы сошлись.

Математическое ожидание времени движения оказалось равно 60,14 с; среднеквадратичное отклонение — 2,41 с. Правдоподобно.

[Geen]

А какие параметры распределения Вы использовали?

[Mathew Rogan]

Пересчитал. Для исходного распределения скорости получились параметры $\mu = 3,22; \sigma = 0,04.$ Тогда среднее значение скорости действительно $ M = e^{\mu + \sigma^2/2} = 25,$ а среднеквадратичное отклонение $ M \sqrt{e^\sigma^{2} - 1} = 1.$

Тогда для времени движения среднее значение 60,1 с, а сигма 2,4 с.

[Евгений Машеров]

Mathew Rogan в сообщении #1553729 писал(а):

Математическое ожидание, ясное дело, $t = s/v = $ 60 с.

Это не так.

[svv]

Mathew Rogan в сообщении #1553732 писал(а):

Эта задача — вариация на задачу из Мещерского:

59.1. Самолет летит из начального в конечный пункт, расстояние между которыми равно 1500 км. Скорость полета v постоянна во времени для каждого полета, но для разных полетов принимает различные значения. Предполагается, что скорость представляет собой случайную величину с гауссовским распределением, с математическим ожиданием 250 м/с и средним квадратическим отклонением 10 м/с. Определить симметричный интервал для времени полета, соответствующий вероятности 0,999.

Ответ там даётся [5180 с; 6820 с].

Тут критикуется эта задача и решение, предполагавшееся (судя по ответу) Мещерским:
https://cyberleninka.ru/article/n/posta ... hanike/pdf

[Mathew Rogan]

svv в сообщении #1553748 писал(а):

Тут критикуется эта задача и решение, предполагавшееся (судя по ответу) Мещерским:
https://cyberleninka.ru/article/n/posta ... hanike/pdf

Да, я видел эту статью. После прочтения и начал копать.

-- 01.05.2022, 18:29 --

Евгений Машеров в сообщении #1553747 писал(а):

Это не так.

Я уже понял. Просто ориентировался на ответ в Мещерском. Хотя в конечном итоге, даже при расчёте по логнормальному распределению, ответ оказался очень близок к 60.

[Евгений Машеров]

Для нелинейных преобразований, вообще говоря, $M(f(x))\ne f(M(x))$
Причём в данном случае нормальное распределение допускает ненулевую вероятность нулевого значения, а оно в знаменателе, откуда и несходящийся интеграл. Полностью снимается затруднение выбором распределения, в котором нуля не будет. В том числе и логнормального. Другой способ - использовать усечённое нормальное, скажем, "артиллерийское нормальное", где принимается, что вероятность получить отклонение от среднего больше 4 вероятных отклонений нулевая (вероятное или срединное отклонение - расстояние от среднего до квартиля распределения, $B\approx 0.674\sigma$). Основывается это на том, что вероятность превысить такое отклонение в силу действия нормального закона существенно ниже вероятности бракованного выстрела или ошибки наводчика.
В задаче из Мещерского такой ситуации, с расходящимся интегралом, не возникает, поскольку не ищется матожидание, а только интервал.

[Евгений Машеров]

Задача может быть сведена к задаче об отношении двух нецентрированных нормальных величин.
https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_dis ... 0%93323-11
(если принять распределение числителя вырожденным, с нулевой дисперсией).
Условие, при котором возможна нормальная аппроксимация, похоже, выполняется (если нужна статья, на которую ссылаются - то я могу её выслать)

[alisa-lebovski]

Я за логнормальное.