Утверждение о точке в треугольнике

[statistonline]

Всем доброго дня!
Имеется следующее утверждение: "Всякая точка треугольника принадлежит не более чем двум его сторонам". Треугольник рассматривается вместе с внутренней своей площадью.
Доказательство.
Пусть $k$ - число сторон треугольника, которым одновременно принадлежит данная точка. Требуется доказать, что случай $k=3$ невозможен, так как случай $k>3$ - это не треугольник.
Предположим, что $k=3$. Тогда из того, что три прямые могут иметь ни одной, одну либо бесконечно много общих точек заключаем, что либо а)все три стороны пересекаются в этой точке, либо б)совпадают друг с другом. Следовательно,
а) все вершины треугольника совпадают, что невозможно, так как в этом случае не выполняется неравенство треугольника. А значит, и предположение $k=3$ неверно.
б)все вершины треугольника находятся на одной прямой, что противоречит определению треугольника
Есть несколько сомнений в этом доказательстве.
1. Случай $k>3$ очевиден или требуется как-то строго обосновывать, что тогда это не треугольник?
2. Правомерно ли ссылаться на неравенство треугольника в такой ситуации? Или перед этим надо указать, что рассматриваются только невырожденные треугольники?
3. Можно ли в утверждении вообще тогда говорить, что оно справедливо для всякой точки плоскости?

[yuriy12375]

1. У треугольника только 3 стороны, поэтому k>3 невозможно.
2. Неравенство треугольника тут ни при чем, и рассматриваются только невырожденные треугольники, в вырожденном треугольнике ABC, у которого вершина C лежит на отрезке AB, эта самая вершина принадлежит трем сторонам.
3. Это утверждение верно для любой точки плоскости.