Найти мат. ожидание

[dima_1985]

$A$ - случайная матрица, элементы которой являются независимо одинаково распределенными случайными величинами, принимающими значения $1$ и $0$ с вероятностями $p$ и $1 - p$ соответственно. Нужно найти $ E[\det(A - A^T)] $. $C = A - A^T $ элемент матрицы $c_{i,j} = a_{i,j} - a_{j,i}$.Мат. ожидание $c_{i,j}=p - p =0 $. Разложим определитель матрицы $С$ по первой строке $c_{1,1} M_{1,1}-c_{1,2} M_{1,2}+...+(-1)^{1+j}M_{1,j}$ . Так как элементы матрицы независимые С.В. $ E[c_{1,1} M_{1,1}-c_{1,2} M_{1,2}+(-1)^{1+j}M_{1,j}] = E[c_{1,1}] E[M_{1,1}]-E[c_{1,2}]E[M_{1,2}] + ... $.$E[c_{1,j}]=0$. Можем сказать, что $ E[\det(A - A^T)] =0 $.Я пробовал генерировать случайные матрицы из $0$ и $1$ и ответ почему-то другой и стал сомневаться в рассуждениях.

[Otta]

dima_1985
Вы бы обозначение для транспонированной матрицы путем написали, а?
И начните с чего попроще, посчитайте матожидание для матрицы порядка два. Глядишь, что и прояснится.

[zykov]

Для нечётного размера там матожидание очевидно ноль из симметрии $A$ и $A^T$.
Для чётного вычислительно вышло для 2, 4, 6: $\frac12$, $\frac34$, $\frac{15}{8}$.

[Otta]

zykov
Обычно оно зависит от $p$ :)
которое у Вас, видимо, $1/2$.

Впрочем, это дело ТС.

[zykov]

Otta
Да, эксперимент был для $p=\frac12$.
Для порядка 2 матожидание будет $2p(1-p)$.

[dima_1985]

Для матрицы $2 x 2$ получается $\begin{bmatrix} 0 & a_{12}-a_{21}\\ a_{21}-a_{12} & 0 \end{bmatrix}=(a_{12}-a_{21})^2=a_{12}^2-2a_{12}a_{21}+a_{21}^2=p-2p^2+p$.В итоге получим $2p(1-p)$. В общем виде для четных $n$ пока не могу получить формулу.

[Otta]

Почитайте про пфаффиан, хоть и в википедии.

Раскрывать скобки, считая квадрат суммы - не лучший ход. Особенно в общем случае. Проще посчитать распределение $c_{ij}$.

[Евгений Машеров]

Элементы матрицы A были независимыми, элементы матрицы C - нет.

[Otta]

Евгений Машеров в сообщении #1553152 писал(а):

Элементы матрицы A были независимыми, элементы матрицы C - нет.

А независимость всех и не нужна.

[Евгений Машеров]

Я о первоначальном рассуждении ТС.

[ihq.pl]

dima_1985, а если воспользоваться определением определителя через перестановки?

[dima_1985]

Вот решил посчитать для матрицы $4 x 4$.$\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & f \\ -b & -d & 0 & k \\ -c & -f & -k & 0 \end{bmatrix}=(ak-bf+cd)^2$.Далее я нашёл совместное определение для $a,k$ и посчитал $M[a,k] = 0$.Отсюда можно сделать вывод, что нас интересуют только слагаемые $a^2k^2+b^2f^2+c^2d^2$.Распределение для $a^2$. $P(a^2=0)=(1-p)^2+p^2; P(a^2=1)=2p(1-p)$.Далее совместное распределение для $a^2;k^2$ нам нужно только одно значение $P(a^2=1,k^2=1)=4p^2(1-p)^2$.$M[(ak-bf+cd)^2]=12p^2(1-p)^2$? Подскажите я в правильном направлении двигаюсь? Если подставить $p=0.5$, то получим $\frac{3}{4}$ похоже на вычислительный результат.

[Otta]

Нормально все.

[dima_1985]

В общем виде получим $E[\det(A-A^T)]=(2n-1)!!(2p)^n(1-p)^n$

[svv]

Возможно также решение, не использующее пфаффиан. Выпишем определитель порядка $2n$ через перестановки. Возьмём одно слагаемое, в нём $2n$ множителей-элементов и ещё $\pm 1$. Множители могут быть "парные" (когда вместе с элементом $c_{ij}$ в произведение входит также $c_{ji}$) и "непарные". Если в произведении есть хоть один непарный множитель, математическое ожидание произведения равно нулю. Значит, надо рассмотреть только случай, когда в слагаемом $n$ пар (различных). Тогда матожидание их произведения равно $(-2p(1-p))^n$. Но есть ещё знак. Он определяется чётностью перестановки $\begin{pmatrix} i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \ldots & i_n & j_n \\ j_1 & i_1 & j_2 & i_2 & \ldots & j_n & i_n \end{pmatrix}$, это даёт $(-1)^n$, и матожидание слагаемого со знаком $(2p(1-p))^n$. Остаётся только умножить на число способов разбиения множества $\{1,2,...,2n\}$ на неупорядоченные пары. А это как раз двойной факториал.