a(n) = (n + наиб. эл.-т {a} <= n)

[kthxbye]

В ходе экспериментов наткнулся на следующую последовательность (A094591):

$$a(n) = n + (\text{наибольший элемент} \left\lbrace a \right\rbrace\leqslant n), a(0)=1$$

Последовательность начинается так:

$$1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 12, 16, 17, 20, 22, 24, 25, 26, 27, 32, 34, 35, 36, 40$$

На эту последовательность я вышел через следующую:

$$b(n) = n - 1 + \sum\limits_{k=1}^{n-1} [b(k)=b(n-k)], b(1)=1$$

Последовательность начинается так:

$$1, 2, 2, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 10, 12, 14, 14, 14, 14, 16, 18, 18, 18, 20$$

Здесь

$$[A=B]=\begin{cases} 1,&\text{если $A=B$;}\\ 0,&\text{в противном случае.} \end{cases}$$

Тогда $n\in\left\lbrace a \right\rbrace$ тогда и только тогда, когда $b(n)>b(n-1)$.

Чем это можно объяснить?

[kotenok gav]

Тем, что A094591 - сумма членов A272729, которая содержит локальные максимумы A272728, которая является $b(n)-n$.

-- 25 апр 2022, 16:36 --

(И нашёл я это за 10 минут просто читая OEIS про A094591, A272727, A272728, и A272729, там же всё написано)

[ozheredov]

kthxbye
Я чего-то не догоняю: возьмем четвертый член. У нас есть $1, 2, 4$, и максимальный член, не превышающий четверку, это четыре и есть. Прибавляем его к $n=4$, должно получиться восемь, разве нет?

[waxtep]

ozheredov в сообщении #1553472 писал(а):

возьмем четвертый член

Тут коварство: в $a$ нумерация с нуля и $a(3)=3+2=5$

[ozheredov]

waxtep
Ну ок, берем $11$. Его номер $6$. А максимальный из предыдущих $5$. Всё, дошло, спасибо