19-угольник с углами, кратными 10°, и параллельность сторон

[someniatko]

Решал школьную задачу по геометрии за 8 класс, со следующей формулировкой:
Докажите, что у всякого выпуклого 19-угольника, в котором каждый угол кратен десяти градусам, найдется пара параллельных сторон.

Честно решал в течение трёх дней, и добился лишь сведения к следующей задаче (благодаря теореме о сумме внешних углов):
Докажите, что разместив по кругу 19 натуральных чисел, не превосходящих 17, а в сумме составляющих 36, можно обвести несколько подряд стоящих чисел так, что они в сумме составят 18.

И вот по последней задаче у меня совершенно никаких прорывных идей.
Есть пара соображений, что среди чисел обязательно будут две единицы, и что на каждую 3 будет ещё одно число 1, на каждую 4 - ещё два и т.п., но не видно как это поможет решить. От противного - тоже не вижу как приходить к противоречию. Могу, конечно, формально доказать перебором.

И да, я не выдержал (несколько дней все же прошло) и таки подглядел в ответ, в котором идея чисто геометрическая - из одной точки провести прямые, параллельные всем сторонам, ну и срабатывает принцип Дирихле. Но теперь меня заинтриговала последняя задача, к которой я свел исходную.

P.S. после столь длинного промежутка потраченного времени на задачу для восьмиклашек, невольно закрадывается сомнение в собственных способностях к математике.

[svv]

Возьмите две ручки разных цветов, например, чёрную и красную.
Расположите Ваши 19 чисел по окружности, написав их чёрным цветом.
Теперь будем писать красные числа в промежутках между чёрными. Выберите промежуток и напишите в нём 0 красным цветом. Дальше обходите окружность, суммируя чёрные числа, и после прибавления очередного чёрного числа пишите в следующем промежутке красным текущую сумму. Когда обойдёте всю окружность и вернётесь к нулю, сумма должна быть 36. Можете дописать там: 0, 36.

Теперь рассмотрите остатки от деления красных чисел на 18.

[someniatko]

Хмм, попробую завтра с утра разгадать задачу, используя идею с остатками от деления. Спасибо!

[TOTAL]

someniatko в сообщении #1553272 писал(а):

Честно решал в течение трёх дней, и добился лишь сведения к следующей задаче ...

Вернитесь на три дня в прошлое, когда ещё не добились сведения.
Расположите одну сторону многоугольника в направлении Юг - Север. Сколько других направлений допустимо для остальных сторон?

[Pphantom]

TOTAL, он уже знает :

someniatko в сообщении #1553272 писал(а):

И да, я не выдержал (несколько дней все же прошло) и таки подглядел в ответ, в котором идея чисто геометрическая - из одной точки провести прямые, параллельные всем сторонам, ну и срабатывает принцип Дирихле.

[Евгений Машеров]

Только хотел заорать: Дирихле! - как увидел, что уже предложили.

[iifat]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1553295 писал(а):

уже предложили

Согласно принципу Дирихле, крик: «Дирихле!» должен раздаваться не более одного раза за топик?

[Sender]

(Оффтоп)

— Господа математики, ни слова о принципе Дирихле! (c)

[TOTAL]

someniatko в сообщении #1553272 писал(а):

Докажите, что разместив по кругу 19 натуральных чисел, не превосходящих 17, а в сумме составляющих 36, можно обвести несколько подряд стоящих чисел так, что они в сумме составят 18.

Окружность длины $36$ разбиваем насечками на куски, равные тем самым $19$ числам.
Найдутся две диаметрально противоположные насечки.