Найти центр описанной вокруг треугольника окружности

[Alexander__]

Помогите разобраться, пожалуйста.

-----

Вершины треугольника имеют координаты $(1,2,3)$, $(1,5,-1)$ и $(5,3,-5)$. Найдите координаты центра описанной окружности этого треугольника.

-----

Идея решения такая: есть теорема о том, что центр описанной окружности лежит на пересечении срединных перпендикуляров. Поэтому проведём две прямые, каждая из которых:
- перпендикулярна одной из сторон треугольника
- лежит в плоскости трёх точек треугольника

Найдём точку пересечения этих прямых. Она и будет центром описанной окружности.

Верна ли эта идея? Можно ли проще?

[Sinoid]

Alexander__ в сообщении #1553191 писал(а):

Идея решения такая: есть теорема
о том, что центр описанной окружности лежит на пересечении срединных перпендикуляров. Поэтому проведём две прямые, каждая из которых:
- перпендикулярна одной из сторон треугольника
- лежит в плоскости трёх точек треугольника

Ну, так где еще-то одно условие на эти прямые?

[alisa-lebovski]

Я бы это решала, как точку, равно удаленную от всех трех данных.

[svv]

В этом варианте тоже придётся потребовать, чтобы искомая точка лежала в плоскости трёх данных. Просто равноудалённых — целая прямая.

[alisa-lebovski]

svv в сообщении #1553231 писал(а):

Просто равноудалённых — целая прямая.

Да, точно. Можно еще минимизировать расстояние.

[Someone]

Alexander__ в сообщении #1553191 писал(а):

Вершины треугольника имеют координаты $(1,2,3)$, $(1,5,-1)$ и $(5,3,-5)$. Найдите координаты центра описанной окружности этого треугольника.

Вот страсти какие…

Есть у нас треугольник $\triangle ABC$. Находим вектор $\vec a_1=\lambda\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$, перпендикулярный вектору $\overrightarrow{AC}$, и пишем уравнение прямой, проходящей через середину отрезка $AC$. Далее находим вектор $\vec a_2=\overrightarrow{AC}+\mu\overrightarrow{BC}$, перпендикулярный вектору $\overrightarrow{BC}$, и пишем уравнение прямой, проходящей через середину отрезка $BC$. Остаётся только найти точку пересечения.

[Alexander__]

Sinoid в сообщении #1553195 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1553191 писал(а):

Идея решения такая: есть теорема
о том, что центр описанной окружности лежит на пересечении срединных перпендикуляров. Поэтому проведём две прямые, каждая из которых:
- перпендикулярна одной из сторон треугольника
- лежит в плоскости трёх точек треугольника

Ну, так где еще-то одно условие на эти прямые?

Вы про "искомая точка лежала в плоскости трёх данных"? Так это следует того, что каждая прямая лежит в плоскости трёх точек треугольника. Или о каком условии?

[Someone]

Alexander__ в сообщении #1553268 писал(а):

Вы про "искомая точка лежала в плоскости трёх данных"?

Очевидно, не про это.

[Alexander__]

Someone в сообщении #1553269 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1553268 писал(а):

Вы про "искомая точка лежала в плоскости трёх данных"?

Очевидно, не про это.

Я торможу. Убедимся, что они пересекаются, тогда точка пересечения будет искомым центром окружности?

-- 25.04.2022, 22:50 --

Someone в сообщении #1553255 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1553191 писал(а):

Вершины треугольника имеют координаты $(1,2,3)$, $(1,5,-1)$ и $(5,3,-5)$. Найдите координаты центра описанной окружности этого треугольника.

Вот страсти какие…

Есть у нас треугольник $\triangle ABC$. Находим вектор $\vec a_1=\lambda\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$, перпендикулярный вектору $\overrightarrow{AC}$, и пишем уравнение прямой, проходящей через середину отрезка $AC$. Далее находим вектор $\vec a_2=\overrightarrow{AC}+\mu\overrightarrow{BC}$, перпендикулярный вектору $\overrightarrow{BC}$, и пишем уравнение прямой, проходящей через середину отрезка $BC$. Остаётся только найти точку пересечения.

Подумав, каким уравнением лучше задать прямую, проходящую через середину отрезка AC, в итоге остановился на таком решении.

Обозначим точки из условия: $A=(1,2,3)$, $B=(1,5,-1)$ и $C=(5,3,-5)$

Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки $A, B, C$:

$$ \begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z - 3 \\ 1-1 & 5-2 & -1-3 \\ 5-1 & 3-2 & -5-3 \end{vmatrix} = 0$$

$$ 5 x + 4 y + 3 z - 22 = 0 $$

Найдём уравнение плоскости $P_1$, перпендикулярной вектору $\vec{AB}$ и проходящую через середину отрезка $AB$. Направляющий вектор плоскости $P_1$:

$$ \vec{n_1} = \vec{AB} = (1-1,5-2,-1-3) = (0,3,-4) $$

Условие принадлежности середины $AB$ плоскости $P_1$:

$$ 0 + 3 \cdot \frac{5-2}{2} - 4 \frac{-1-3}{2} + D_1 = 0 \Rightarrow D_1 = -\frac{25}{2} $$

Аналогично найдём уравнение плоскости $P_2$, перпендикулярной вектору $\vec{AC}$ и проходящую через середину отрезка $AC$.

$$ \vec{n_2} = \vec{AC} = (5-1,3-2,-5-3) = (4,1,-8) $$

Условие принадлежности середины $AC$ плоскости $P_2$:

$$ 4 \cdot \frac{1+5}{2} + 1 \cdot \frac{2+3}{2} - 8 \frac{3-5}{2} + D_2 = 0 \Rightarrow D_1 = -\frac{45}{2} $$

В итоге, точка центра окружности находится из решения системы уравнений:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 5x+4y+3z-22 = 0 \\ 3y-4z-\frac{25}{2}=0 \\ 4x+y-8z-\frac{45}{2}=0 \end{array} \right. $$

Откуда $x = \frac{113}{40}, y = \frac{69}{25}, z = -\frac{211}{200}$.

[TOTAL]

Alexander__ в сообщении #1553428 писал(а):

Найдём уравнение плоскости $P_1$, перпендикулярной вектору $\vec{AB}$ и проходящую через середину отрезка $AB$.

Вот уравнение такой плоскости
$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2$

[Someone]

Alexander__ в сообщении #1553428 писал(а):

Someone в сообщении #1553269 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1553268 писал(а):

Вы про "искомая точка лежала в плоскости трёх данных"?

Очевидно, не про это.

Я торможу. Убедимся, что они пересекаются, тогда точка пересечения будет искомым центром окружности?

Посмотрите ра своё первое сообщение:

Alexander__ в сообщении #1553191 писал(а):

Поэтому проведём две прямые, каждая из которых:
- перпендикулярна одной из сторон треугольника
- лежит в плоскости трёх точек треугольника

Где здесь сказано, что прямые должны проходить через середины сторон треугольника?

Alexander__ в сообщении #1553428 писал(а):

Someone в сообщении #1553255 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1553191 писал(а):

Вершины треугольника имеют координаты $(1,2,3)$, $(1,5,-1)$ и $(5,3,-5)$. Найдите координаты центра описанной окружности этого треугольника.

Вот страсти какие…

Есть у нас треугольник $\triangle ABC$. Находим вектор $\vec a_1=\lambda\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$, перпендикулярный вектору $\overrightarrow{AC}$, и пишем уравнение прямой, проходящей через середину отрезка $AC$. Далее находим вектор $\vec a_2=\overrightarrow{AC}+\mu\overrightarrow{BC}$, перпендикулярный вектору $\overrightarrow{BC}$, и пишем уравнение прямой, проходящей через середину отрезка $BC$. Остаётся только найти точку пересечения.

Подумав, каким уравнением лучше задать прямую, проходящую через середину отрезка AC, в итоге остановился на таком решении.

Вашу задачу можно решать многими способами. Вы же изучаете курс аналитической геометрии? Я имел в виду следующее.

В курсе аналитической геометрии изучается много чего, и в частности — скалярное произведение векторов и условие ортогональности (перпендикулярности, если они ненулевые) векторов: $\vec a$ и $\vec b$ ортогональны тогда и только тогда, когда $\vec a\vec b=0$. Пользуясь условием ортогональности векторов, получаем для $\lambda$ и $\mu$ уравнения $\vec a_1\overrightarrow{AC}=0$ и $\vec a_2\overrightarrow{BC}=0$, откуда находим $\lambda$ и $\mu$, а затем векторы $\vec a_1$ и $\vec a_2$. Далее находим середины отрезков $AC$ и $BC$. Имея точку (середину отрезка) и направляющий вектор ($\vec a_1$ или $\vec a_2$), перпендикулярный соответствующему отрезку, составляем уравнение серединного перпендикуляра (каноническое или параметрическое; в последнем случае параметры нужно обозначить разными буквами). Эти уравнения объединяем в одну систему и находим точку пересечения.

Я не утверждаю, что это решение самое короткое, но оно прямо соответствует утверждению "центр описанной окружности треугольника является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам".

[mihiv]

Alexander__ в сообщении #1553428 писал(а):

Откуда $x = \frac{113}{40}, y = \frac{69}{25}, z = -\frac{211}{200}$

По-моему, получаются разные расстояния от этой точки до вершин треугольника.

[Alexander__]

mihiv в сообщении #1553601 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1553428 писал(а):

Откуда $x = \frac{113}{40}, y = \frac{69}{25}, z = -\frac{211}{200}$

По-моему, получаются разные расстояния от этой точки до вершин треугольника.

Благодарю, что заметили. Да, я в решении ошибся в нескольких местах. Верное решение следующее.

Обозначим точки из условия: $A=(1,2,3)$, $B=(1,5,-1)$ и $C=(5,3,-5)$

Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки $A, B, C$:

$$ \begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z - 3 \\ x-1 & y-5 & z+1 \\ x-5 & y-3 & z+5 \end{vmatrix} = 0$$

$$ 5 x + 4 y + 3 z - 22 = 0 $$

Найдём уравнение плоскости $P_1$, перпендикулярной вектору $\vec{AB}$ и проходящую через середину отрезка $AB$. Направляющий вектор плоскости $P_1$:

$$ \vec{n_1} = \vec{AB} = (1-1,5-2,-1-3) = (0,3,-4) $$

Условие принадлежности середины $AB=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}=(1,\frac{7}{2},1)$ плоскости $P_1$:

$$ 0 + 3 \cdot \frac{7}{2} - 4 \cdot 1 + D_1 = 0 \Rightarrow D_1 = -\frac{13}{2} $$

Аналогично найдём уравнение плоскости $P_2$, перпендикулярной вектору $\vec{AC}$ и проходящую через середину
отрезка $AC$.

$$ \vec{n_2} = \vec{AC} = (5-1,3-2,-5-3) = (4,1,-8) $$

Условие принадлежности середины $AC=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}=(3,\frac{5}{2},-1)$ плоскости $P_2$:

$$ 4 \cdot 3 + 1 \cdot \frac{5}{2} - 8 \cdot -1 + D_2 = 0 \Rightarrow D_1 = -\frac{45}{2} $$

В итоге, точка центра окружности находится из решения системы уравнений:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 5x+4y+3z-22 = 0 \\ 3y-4z-\frac{13}{2}=0 \\ 4x+y-8z-\frac{45}{2}=0 \end{array} \right. $$

Единственным решением этой системы является точка: $(\frac{31}{8}, \frac{6}{5}, -\frac{29}{40})$. Можно убедиться, что расстояние от этой точки до точек $A$, $B$, $C$ равно $\frac{27}{4 \sqrt{2}}$.

-- 22.05.2022, 19:05 --

Someone в сообщении #1553459 писал(а):

Посмотрите на своё первое сообщение:

Alexander__ в сообщении #1553191 писал(а):

Поэтому проведём две прямые, каждая из которых:
- перпендикулярна одной из сторон треугольника
- лежит в плоскости трёх точек треугольника

Где здесь сказано, что прямые должны проходить через середины сторон треугольника?

Точно. Благодарю!

Someone в сообщении #1553459 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1553428 писал(а):

Someone в сообщении #1553255 писал(а):

Вот страсти какие…

Есть у нас треугольник $\triangle ABC$. Находим вектор $\vec a_1=\lambda\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$, перпендикулярный вектору $\overrightarrow{AC}$, и пишем уравнение прямой, проходящей через середину отрезка $AC$. Далее находим вектор $\vec a_2=\overrightarrow{AC}+\mu\overrightarrow{BC}$, перпендикулярный вектору $\overrightarrow{BC}$, и пишем уравнение прямой, проходящей через середину отрезка $BC$. Остаётся только найти точку пересечения.

Подумав, каким уравнением лучше задать прямую, проходящую через середину отрезка AC, в итоге остановился на таком решении.

Вашу задачу можно решать многими способами. Вы же изучаете курс аналитической геометрии? Я имел в виду следующее.

В курсе аналитической геометрии изучается много чего, и в частности — скалярное произведение векторов и условие ортогональности (перпендикулярности, если они ненулевые) векторов: $\vec a$ и $\vec b$ ортогональны тогда и только тогда, когда $\vec a\vec b=0$. Пользуясь условием ортогональности векторов, получаем для $\lambda$ и $\mu$ уравнения $\vec a_1\overrightarrow{AC}=0$ и $\vec a_2\overrightarrow{BC}=0$, откуда находим $\lambda$ и $\mu$, а затем векторы $\vec a_1$ и $\vec a_2$. Далее находим середины отрезков $AC$ и $BC$. Имея точку (середину отрезка) и направляющий вектор ($\vec a_1$ или $\vec a_2$), перпендикулярный соответствующему отрезку, составляем уравнение серединного перпендикуляра (каноническое или параметрическое; в последнем случае параметры нужно обозначить разными буквами). Эти уравнения объединяем в одну систему и находим точку пересечения.

Я не утверждаю, что это решение самое короткое, но оно прямо соответствует утверждению "центр описанной окружности треугольника является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам".

Благодарю вас за полезную учебную рекомендацию!

Решение получилось следующее.

$$\vec{a_1} = \lambda \vec{AC} + \vec{BC}$$

$$\vec{a_1} \vec{AC} = 0$$

$$\lambda (\vec{AC} \vec{AC}) + (\vec{BC} \vec{AC}) = 0$$

$$\lambda \cdot 81 + 46 = 0$$

$$\lambda = -\frac{46}{81}$$

Аналогично получим, что $\mu = - \frac{23}{18}$.

Так как $\vec{AC} = (4,1,8)$ и $\vec{BC}=(2,-1,-2)$, то $\vec{a_1}=(35,-52,11)$ и $\vec{a_2}=(-5,16,-13)$.

Середина отрезка $AC$ имеет координаты: $ \frac{\vec{OA}+\vec{OC}}{2} = (3,\frac{5}{2},-1) $. Середина отрезка $BC$ имеет координаты: $ \frac{\vec{OB}+\vec{OC}}{2} = (3,4,-3) $.

---

Решение, используя каноническое уравнение прямой.

Каноническое уравнение прямой с направляющим вектором $\vec{a_1}$ и проходящей через середину $AC$:

$$ \frac{x-3}{35} = \frac{y-\frac{5}{2}}{-52} = \frac{z+1}{11} $$

Каноническое уравнение прямой с направляющим вектором $\vec{a_2}$ и проходящей через середину $BC$:

$$ \frac{x-3}{-5} = \frac{y-4}{16} = \frac{z+3}{-13} $$

Далее необходимо решить систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x-3}{35} = \frac{y-\frac{5}{2}}{-52} = \frac{z+1}{11} \\ \frac{x-3}{-5} = \frac{y-4}{16} = \frac{z+3}{-13} \end{cases} $$

Единственным решением этой системы является точка: $(\frac{31}{8}, \frac{6}{5}, -\frac{29}{40})$. Можно убедиться, что расстояние от этой точки до точек $A$, $B$, $C$ равно $\frac{27}{4 \sqrt{2}}$.

---

Решение, используя параметрическое уравнение прямой.

Составим уравнения прямых:
- $P_1$ с направляющим вектором $\vec{a_1}$ и проходящей через середину $AC$.
- $P_2$ с направляющим вектором $\vec{a_2}$ и проходящей через середину $BC$.

$$ \vec{p_1} = \vec{a_1} t + (3,\frac{5}{2},-1) $$

$$ \vec{p_2} = \vec{a_2} t + (3,4,-3) $$

Ответом будет решение системы из трёх уравнений относительно параметров $t_1$ и $t_2$, отражающее условие пересечения прямых $P_1$ и $P_2$:

$$ \vec{a_1} t_1 + (3,\frac{5}{2},-1) = \vec{a_2} t_2 + (3,4,-3) $$

Единственное решение: $t_1=\frac1{40}, t_2=\frac{7}{40}$.

Подставим значение любого из найденных параметров в соответствующее уравнение прямой и найдём, что точкой пересечения является точка: $(\frac{31}{8}, \frac{6}{5}, -\frac{29}{40})$. Можно убедиться, что расстояние от этой точки до точек $A$, $B$, $C$ равно $\frac{27}{4 \sqrt{2}}$.