Однородные многочлены

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Помогите разобраться. Есть неравенство:

$17(2 \cdot 16^x-64^x)-25 \cdot 4^x + 2 \cdot 256^x +6 \geqslant 0$.

Предположительно оно однородное, но я не разглядел (обобщенно-однородное относительно некоторых выражений). После замены: $t=4^x$, получил:

$17(2 \cdot t^2-t^3)-25 \cdot t + 2 \cdot t^4 +6 \geqslant 0$ или

$\,\, 2 t^4-17 t^3 + 34 t^2 -25t +6 \geqslant 0$

но однородность опять не разглядел. Поискав корни среди делителей свободного члена и коэффициента при старшей степени, нашел их:

$(x-6)(x-1)^2(2x-1)\geqslant 0$

Неравенство решил, но вопрос в другом: можно ли построить однородный многочлен по его известному разложению на простые множители? И как? Или какие рекомендации?

[novichok2018]

Решили, так зачем однородность?

[Stensen]

novichok2018 в сообщении #1553103 писал(а):

Решили, так зачем однородность?

Для дополнительной образованности.

(Оффтоп)

Математиком хочу быть! Мечтаю!

[iifat]

Stensen в сообщении #1553099 писал(а):

Предположительно оно однородное

А что, если не секрет, заставило вас прийти к такому предположению? Вот так навскидку припоминаю про однородные многочлены нескольких переменных, но не вижу в исходном неравенстве многочленов вообще, а многочленов от нескольки переменных вообще во всём тексте.

[Stensen]

iifat в сообщении #1553121 писал(а):

Stensen в сообщении #1553099 писал(а):

Предположительно оно однородное

А что, если не секрет, заставило вас прийти к такому предположению? Вот так навскидку припоминаю про однородные многочлены нескольких переменных, но не вижу в исходном неравенстве многочленов вообще, а многочленов от нескольки переменных вообще во всём тексте.

Это неравенство (на картинке №42а) находится в группе однородных. №42б, например, однородное относительно: $f=(2\cdot 3^x-1),\,\,g=3^{2x}$. Потому и подумал, что 42а тоже, если нет опечатки.

[iifat]

Почитал про однородные неравенства. По-моему, вас обманули. Только первые два относятся к однородным.

[tolstopuz]

Заменой $f=16^x-1$, $g=4^x-1$ неравенство приводится к виду $(f-7g)(2f-3g)\geq0$. Но непонятно, как это угадать, не зная ответ, а главное, зачем.

[Stensen]

tolstopuz в сообщении #1553159 писал(а):

Заменой $f=16^x-1$, $g=4^x-1$ неравенство приводится к виду $(f-7g)(2f-3g)\geq0$. Но непонятно, как это угадать, не зная ответ, а главное, зачем.

Вот ведь. Да, это оно однородное в обобщенном смысле: $2f^2-17f\cdot g +21g^2$. А как это угадать, зная ответ? Понимаю, что задача уже решена, но все-таки?

[tolstopuz]

Я попарно группировал множители ответа и подбирал свободные члены в $f=t^2+a$ и $g=t+b$ методом неопределенных коэффициентов.