Преобразование координат и треугольник

[MestnyBomzh]

Задача
На плоскости $OXY$ ввели новые координаты

$$\left\{ \begin{array}{rcl} u &=&y-2x \\ v &=& y+2x\\ \end{array} \right.$$

Какую наименьшую положительную площадь может иметь треугольник, координаты вершин которого в новой системе координат являются целыми числами?

У меня в ходе решения возник вопрос. Я нарисовал две прямые $y=2x$ и $y=-2x$, и обнаружил, что они не перпендикулярны. Могли бы прояснить этот момент? Потому что я в всегда думал, что линейное преобразование координат всегда будет переводить всю плоскость в некую другую плоскость с другим базисом. Здесь же получается, что базис не ортогональный, это нормально?

[Pphantom]

MestnyBomzh в сообщении #1553084 писал(а):

Здесь же получается, что базис не ортогональный, это нормально?

Нормально. Для перевода ортогонального базиса в ортогональный линейности преобразований недостаточно, нужны более сильные условия.

[Aritaborian]

Ну и с фига ли он должен быть ортогональным? Басисом он быть, однако же, обязан. У вас пробелы в знаниях. Вот, например, вчера в каком-то топике вы не сумели разложить кратный синус.

[MestnyBomzh]

Aritaborian в сообщении #1553087 писал(а):

У вас пробелы в знаниях. Вот, например, вчера в каком-то топике вы не сумели разложить кратный синус.

Всё именно так и есть, как раз занимаюсь восполнением

-- 20.04.2022, 10:10 --

По поводу исходной задачи. Пока что единственным кандидатом я вижу треугольник $(0, 0), (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}), (-\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ с площадью $\frac{1}{8}$. Но пока не понимаю как доказать, что он наименьшей площади

[nnosipov]

MestnyBomzh в сообщении #1553107 писал(а):

Пока что единственным кандидатом я вижу треугольник $(0, 0), (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}), (-\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ с площадью $\frac{1}{8}$. Но пока не понимаю как доказать, что он наименьшей площади

Ну, если пример правильный, т.е. минимум площади действительно $1/8$ (надеюсь, что так, не проверял), то доказательство минимальности тривиально следует из формулы для площади треугольника с вершинами $(0,0)$, $(x,y)$ и $(X,Y)$ (здесь предварительно нужно выразить старые координаты $x$, $y$, $X$, $Y$ через новые координаты $u$, $v$, $U$, $V$ и учесть целочисленность последних).

Upd. Хотя все это и так очевидно, ибо для обычной (квадратной) решетки ответ ясен.

[waxtep]

Если допустимы "наглядные соображения", можно провести два семейства прямых с постоянными целыми $u$ и $v$; соседние прямые разобьют плоскость на равные параллелограммы. Искомая минимальная площадь - половина площади любого из таких параллелограммов. Можно добавить рассуждение, что не имеет смысл брать прямые из этих семейств, не являющиеся соседними, т.к. беря соседние мы уменьшим либо основание треугольника, либо его высоту (не изменяя вторую из величин), а, следовательно, и площадь.

-- 20.04.2022, 11:40 --

Вообще не совсем аккуратное рассуждение, пардон. Нужно доказать, что две вершины должны быть соседними на прямой одного из семейств, а третья - где угодно на соседней прямой второго семейства (площади всех таких треугольников будут равны)

[slavav]

Обратное преобразование: $x = \frac{v - u}4, y = \frac{u + v}2$. Площадь треугольника с вершинами $(0, 0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)$: $s = \frac{\left\lvert x_1 y_2 - x_2 y_1\right\rvert}2$. Отсюда $8s \in \mathbb{Z}$. То есть, целочисленных треугольников с площадью менее $\frac18$ не бывает. Пример треугольника именно с такой площадью уже предъявлен.

[nnosipov]

slavav в сообщении #1553137 писал(а):

Обратное преобразование: $x = \frac{v - u}4, y = \frac{u + v}2$. Площадь треугольника с вершинами $(0, 0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)$: $s = \frac{\left\lvert x_1 y_2 - x_2 y_1\right\rvert}2$. Отсюда $8s \in \mathbb{Z}$.

Я выше ровно это и написал. Но можно просто заметить, что при линейном преобразовании все площади увеличиваются понятно в какое число раз, а минимальная площадь треугольника с вершинами на решетке $\mathbb{Z}^2$ равна $1/2$ (кажется очевидным, но на самом деле вытекает из формулы для площади).