Спектр оператора в Lp

[artempalkin]

Моисеев в своих лекциях разбирает задачу: найти спектр оператора $Ax(t)=tx(t)$ в $X=L_p(0,1)$

1) Сначала исследуем $\ker(A-\lambda E)$

Если $(t-\lambda)x=0$, то при $\lambda \notin [0;1]$ $x(t)\equiv 0$.

При $\lambda\in [0;1]$ $x(t)=0$ при $t\neq \lambda$ и $x(\lambda)$ может быть любым. Но в $L_p$ мы рассматриваем классы эквивалентности, а $x(t)$ в таком случае попадет в один класс эквивалентности с $0$. В итоге $\forall \lambda$ $\ker(A-\lambda E)=\{0\}$.

2) Исследуем $R(A-\lambda E)$ (так Моисеев называет образ)

$(t-\lambda)x=y$

Если $\lambda \notin [0;1]$, то $x=\frac y {t-\lambda}$, то есть $R(A-\lambda E)=X$, а значит $\lambda \notin [0;1]$ - регулярные точки

А вот если $\lambda\in [0;1]$, то Моисеев начинает делать что-то несусветное. Он говорит, что нужно рассмотреть вместе $y(t)$ в правой части такую функцию:

$y_{\varepsilon}(t)= \begin{cases} y(t), &|t-\lambda|\geqslant \varepsilon\\ 0, & |t-\lambda|< \varepsilon \end{cases}$

Тогда $(t-\lambda)x=y_{\varepsilon}$ точно имеет решение, а $y(t)$ по метрике $L_p$ сколь угодно близко приближается $y_{\varepsilon}(t)$. В итоге он делает вывод, что $\overline {R(A-\lambda E)}=X$, а значит $\lambda\in [0;1]$ - часть непрерывного спектра.

Глубоко уважаю Моисеева, но мне кажется, что он неправ. Чтобы доказать, что $\lambda$ будет принадлежать непрерывному спектру, недостаточно доказать, что (при условии $\ker(A-\lambda E)=\{0\}$) $\overline {R(A-\lambda E)}=X$, но ведь еще и $R(A-\lambda E)\neq X$.

В нашем же случае если мы закрепим $y(t)$ и рассмотрим

$\tilde y(t)= \begin{cases} y(t), &t\neq \lambda\\ 0, & t=\lambda \end{cases}$

то у такой функции найдется прообраз, но она же находится в том же классе эквивалентности, что и $y(t)$ (то есть они effectively equal с точки зрения пространства $L_p$)! А значит у этого оператора не будет никакого спектра, а только регулярные точки...

Подскажите, в чем я не прав?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1553051 писал(а):

то у такой функции найдется прообраз

Этот прообраз не обязательно будет принадлежать $L_p$. Возьмите, например, $p = 2$, $\lambda = 0$ и $y(t) = \frac{1}{\sqrt[3]{t}}$.

artempalkin в сообщении #1553051 писал(а):

А значит у этого оператора не будет никакого спектра, а только регулярные точки

А так вообще не бывает, спектр всегда непуст.

[thething]

artempalkin в сообщении #1553051 писал(а):

еще и $R(A-\lambda E)\neq X$

Вроде очевидно, что у тождественной единицы нет прообраза в $L_p[0,1]$, зачем такое разжёвывать? Особенно памятуя о доказательстве теоремы о существовании проекции в гильбертовом пространстве.

mihaild в сообщении #1553053 писал(а):

спектр всегда непуст

... у ограниченного оператора на банаховом пространстве.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1553053 писал(а):

Этот прообраз не обязательно будет принадлежать $L_p$. Возьмите, например, $p = 2$, $\lambda = 0$ и $y(t) = \frac{1}{\sqrt[3]{t}}$.

thething в сообщении #1553055 писал(а):

Вроде очевидно, что у тождественной единицы нет прообраза в $L_p[0,1]$, зачем такое разжёвывать? Особенно памятуя о доказательстве теоремы о существовании проекции в гильбертовом пространстве.

Да, согласен. С единицей пример совсем простой. Получается, что при $p>1$ такой несобственный интеграл Римана $\int\limits_0^1\frac {dx}{(x-\lambda)^p}$ разойдется (при $\lambda\in[0;1]$) абсолютно и даже как есть, а значит интеграла Лебега тоже не существует.

Увидев это, мы понимаем, что $R(A-\lambda E)\neq X$. Соответственно, нужно исследовать замыкание образа.
Тогда оказывается, что любая функция типа $y_{\varepsilon}(t)$ лежит в образе (т.к. мы как бы выкидываем неприятную точку с некоторой окрестностью и интеграл от прообраза перестает расходиться, а значит образ будет в $L_p$).

thething в сообщении #1553055 писал(а):

mihaild в сообщении #1553053

писал(а):
спектр всегда непуст
... у ограниченного оператора на банаховом пространстве.

Да, такая теорема тоже есть, я пока не понял, как ее доказывать.

thething в сообщении #1553055 писал(а):

Особенно памятуя о доказательстве теоремы о существовании проекции в гильбертовом пространстве.

Вот это я что-то не уловил, а где здесь аналогия?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1553068 писал(а):

Да, такая теорема тоже есть, я пока не понял, как ее доказывать.

У Рудина в "Функциональном анализе" есть доказательство. Идея ИМХО красивая: для линейного функционала $h$ на пространстве операторов $X \to X$ рассмотрим определенную вне спектра функцию $h((A - \lambda E)^{-1})$. Она оказывается голоморфной и ограниченной в окрестности бесконечности, следовательно, если спектр пуст, то она константа.

[thething]

artempalkin в сообщении #1553068 писал(а):

Вот это я что-то не уловил, а где здесь аналогия?

Если автор такие утверждения доказывает в одну строку, практически словом "очевидно", стОит ли от него ожидать расписывания воистину очевидных вещей?

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1553077 писал(а):

рассмотрим определенную вне спектра функцию $h((A - \lambda E)^{-1})$.

Да, Моисеев так же делает в точности. Но пока всех деталей этого доказательства я не уловил. Особенно почему конкретно эта функция будет всюду аналитической.

thething в сообщении #1553098 писал(а):

стОит ли от него ожидать расписывания воистину очевидных вещей?

Ну да, а мне даже в голову не пришло, что прообраз может не лежать в исходном пространстве. Моисеев в своём репертуаре