Линейный оператор

[MestnyBomzh]

Задача
В $\mathbb{R}^3$ задано отображение

$$ \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1& 2 & 2\\ -4& 3 &4 \\ 2 & -2&-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} $$

Найдите
а) точку
б) прямую
в) плоскость
которые под действием этого отображения переходят в себя
Источник: https://cosmos.msu.ru/sites/default/files/inline-files/%D0%92%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82_%D0%9F%D0%9C%D0%98_240719.pdf

Решение
а) Я просто решил систему линейных уравнений, получил решение $x=y=z=0$, что является точкой. Но прямую и плоскость я не понимаю откуда тут вытащить
б) Я нашел СЧ и СВ, соответсвенно СВ - это направляющий вектор нашей прямой. Получается, что прямая имеет вид $x=0, y=-t, z=t$
в) А вот в) я не понял как решить. Учитывая то, что у меня получился только один собственный вектор (в $\mathbb{R}^3$), то откуда тогда взяться плоскости? Я думал про присоединенный вектор, но они существуют только в случае кратных СЧ. Оставшиеся СВ соответствуют комплексным СЧ, так что тоже не подходят

[Mikhail_K]

MestnyBomzh в сообщении #1552795 писал(а):

Оставшиеся СВ соответствуют комплексным СЧ

Паре комплексных собственных значений соответствует собственное подпространство (плоскость). Покажите, что если $a+ib$ - комплексный собственный вектор, отвечающий собственному значению $\alpha+i\beta$, то плоскость, натянутая на вещественные векторы $a,\,b$, будет переводиться в себя. То есть что если подействовать $A$ на любую линейную комбинацию $a$ и $b$, то получится снова линейная комбинация $a$ и $b$.

[MestnyBomzh]

Mikhail_K в сообщении #1552798 писал(а):

То есть что если подействовать $A$ на любую линейную комбинацию $a$ и $b$, то получится снова линейная комбинация $a$ и $b$.

Давайте попробую это показать. Итак, предполагаем, что СЧ $\lambda = \alpha + \beta i$, СВ $a + ib$
Тогда по определению СЧ

$$ A(a+ib) = (\alpha + \beta i) (a+ib) $$

$$ Aa+iAb = (\alpha a - \beta b) + i (\beta a +\alpha b) $$

Из последнего следует что

$$\left\{ \begin{array}{rcl} Aa&=&\alpha a - \beta b \\ Ab &=&\beta a + \alpha b \\ \end{array} \right.$$

Теперь подействуем оператором А на линейную комбинацию:

$$ A(C_1 a + C_2 b) = C_1 Aa + C_2 Ab = C_1 (\alpha a - \beta b) + C_2 (\beta a + \alpha b) = a (\alpha C_1 + \beta C_2) + b (\alpha C_2 - \beta C_1)$$

Таким образом доказали, что оператор переводит линейную оболочку векторов $a, b$ в себя же
Всё верно?
И ещё вопрос. Поскольку там же два СВ комплексных, получается, что таких плоскостей, которые переводятся сами в себя, будет две?

[nnosipov]

MestnyBomzh в сообщении #1552869 писал(а):

Поскольку там же два СВ комплексных, получается, что таких плоскостей, которые переводятся сами в себя, будет две?

Нет, плоскость одна, так как СВ сопряжены (потому что таковы СЗ).