Интегралы в ТФКП

[grossrog]

Здравствуйте! При решении "Сборник задач по высшей математике" Лунгу, Письменный (том 2, раздел ТФКП) столкнулся с проблемой понимания заданий 7.3.21,7.3.22
Приведу задание 7.3.21 : Вычислить интеграл
$\int\limits_{l}^{z}{e^zdz}$ где $l$ отрезок прямой от точки $z_1=i$ до $z_2=1+i$

Что означает верхний предел $z$? Опечатка маловероятна , так как в задачах 7.3.22 и 7.3.23 запись аналогична. (Задачник для ВТУЗов, но разобранного примера с такой записью нет). Если не обращаю внимание на верхний предел, а просто интегрирую по кривой $l$ через криволинейные интегралы получаю $e\cos1+e{i}\sin1-\cos1-i\sin1$, но в ответе приведено
$\cos1+\sin1-e\sin1+i(\sin1-\cos1+e\cos1)$. Ответ задачи 7.3.22 также не совпал, поэтому появилось сомнение а правильно ли я игнорирую букву $z$ в верхнем пределе? В предыдущих примерах буква $z$ отсутствует и ответы совпали. Не является ли $z$ пределом, как в таком случае ищется решение, ведь формула Ньютона Лейбница для конкретных точек, а $z$ в верхнем пределе комплексное число в общем виде? Может в какой нибудь литературе встречались разобранные примеры.

[novichok2018]

Непонятно, можно только гадать.

[Евгений Машеров]

Явная опечатка. Не может предел интегрирования совпадать с переменной интегрирования. Как вариант - ошибка набора, из-за которой z "подскочил". И подынтегральное $ze^z$. Может, так с ответом совпадёт?

[svv]

Точно. Множитель $z$ из подинтегральной функции наборщик «повысил» до верхнего предела интеграла.

[grossrog]

Евгений Машеров в сообщении #1552448 писал(а):

Явная опечатка. Не может предел интегрирования совпадать с переменной интегрирования. Как вариант - ошибка набора, из-за которой z "подскочил". И подынтегральное $ze^z$. Может, так с ответом совпадёт?

Спасибо за наводку, в самом деле если z сместить вниз то с ответами задания 7.3.21 и 7.3.22 совпадают. А вот в 7.3.23 опечатка более странная, вместо

$$\int\limits_{l}^{z}{\sin{z}}dz$$

чтобы совпало с ответом надо решать

$$\int\limits_{l}^{}2\sin^2\frac{z}{2}dz$$

Всем спасибо.

[Евгений Машеров]

А это у нас не синус верзус получается, $1-\cos z$?

[grossrog]

Евгений Машеров в сообщении #1552483 писал(а):

А это у нас не синус верзус получается, $1-\cos z$?

Не знал что у данного типа функции свое название. В целом, насколько я понял, при аналитичности функции в ТФКП допустимо пользоваться таблицей и стандартными методами взятия интегралов. Чтобы ответ совпал с книжным пришлось подогнать задание.

[Евгений Машеров]

Были такие функции - синус верзус (версинус), гаверсинус, эксеканс (ну и ко-, косинус верзус и т.п.). Особо табулировались (и даже не столько сами, сколько логарифмы от них), для удобства логарифмических расчётов. Сейчас только историческое значение.
А с последней задачей - в предыдущих опечатка возможна, то ли неправильно поняли рукописный почерк, то ли на автомате поставили z в позицию верхнего предела, но в последней странно, как такое получить. Может, всё же тоже множитель? А где-то у Вас ошибка в выкладках, или же можно упростить "до ответа"?

[artempalkin]

Евгений Машеров в сообщении #1552448 писал(а):

Не может предел интегрирования совпадать с переменной интегрирования.

Именно это не очень аргумент. Типа, моветон, но сплошь и рядом. Например, Маткад (моя версия) вполне позволяет это делать и совсем не ругается.

[Евгений Машеров]

Это грубая смысловая ошибка. Тем более недопустимая в учебном пособии. А что конкретная программа мирволит такой записи - так в ней вообще нет переменных, а есть ячейки памяти, и если ячейки правильные, а названия какие-то не такие, это ни на что не повлияет.

[grossrog]

Евгений Машеров в сообщении #1552652 писал(а):

Были такие функции - синус верзус (версинус), гаверсинус, эксеканс (ну и ко-, косинус верзус и т.п.). Особо табулировались (и даже не столько сами, сколько логарифмы от них), для удобства логарифмических расчётов. Сейчас только историческое значение.
А с последней задачей - в предыдущих опечатка возможна, то ли неправильно поняли рукописный почерк, то ли на автомате поставили z в позицию верхнего предела, но в последней странно, как такое получить. Может, всё же тоже множитель? А где-то у Вас ошибка в выкладках, или же можно упростить "до ответа"?

Задание 7.3.23 в задачнике приведено так : $\int\limits_{l}^{z}\sin{z}dz$ где $\l$ отрезок от 0 до $i$. Если опечатка набора как в других примерах получим $\int\limits_{l}^{}z\sin{z}dz=\int\limits_{l}^{}(x+iy){\sin(x+iy)}d(x+iy)$ Переведем к криволинейным интегралам $x=0,y_1=0,y_2=1, dx=0$ , тогда

$$\int\limits_{0}^{1}iy\sin(iy)diy=-\int\limits_{0}^{1}iyd\cos(iy)=-(iy\cos(iy)|_0^1-\int\limits_{0}^{1}\cos(iy)diy)=-(iy\cos(iy)|_0^1-\sin(iy)|_0^1)=$= -i(y\cos(iy)|_0^1+i\sin(iy)|_0^1)=-i(\cos(i)+i\sin(i))=-i(\ch1-\sh1)$$

А в ответе $i(1-\sh1)$ если в самом начале из тригонометрической формы в гиперболическую перейти ничего не меняется, тоже самое интегрирование по частям и такой же ответ.