Группа симметрии эллипса

[amon]

В связи с одной задачкой возник такой шкурный интерес. Где прочитать про неприводимые представления группы симметрии эллипса, то есть группы, сохраняющей форму $ax^2+by^2?$

[Slav-27]

Какие преобразования разрешены? Если линейные, то это $O(2)$ (она переходит в стандартную $O(2)$ при сопряжении линейным преобразованием, делающим из эллипса окружность).

-- 13.04.2022, 18:22 --

$O(2)\approx SO(2)\times \mathbb Z/2$ абелева, поэтому комплексные неприводимые представления одномерны и имеют вид $(e^{i\varphi},s)z=e^{in\varphi}z$ или $(-1)^se^{in\varphi}z$.

[amon]

Slav-27 в сообщении #1552474 писал(а):

Если линейные, то это $O(2)$

Да, это я как-то не сообразил. Действительно, делаем окружность, поворачиваем и вертаемся назад. Группа получается абелева, и каменный цветок у меня не выходит. Подумаю, и может еше какую глупость спрошу.

[mihaild]

Slav-27 в сообщении #1552474 писал(а):

$O(2)\approx SO(2)\times \mathbb Z/2$

Я, видимо, очень сильно туплю, но разве поворот и отражение коммутируют?

[Slav-27]

mihaild в сообщении #1552522 писал(а):

Я, видимо, очень сильно туплю, но разве поворот и отражение коммутируют?

Почему же вы, я, конечно.

Сопряжение отражением $R$ относительно (какой-нибудь зафиксированной) прямой переводит поворот на $\varphi$ в поворот на $-\varphi$, поэтому классы изоморфизма комплексных неприводимых представлений такие:

• тривиальное,
• 1-мерное, $SO(2)$ действует тривиально, $R$ умножением на $-1$;
• 2-мерные: $e^{i\varphi}$ действует как $\begin{pmatrix}e^{in\varphi}&0\\0&e^{-in\varphi}\end{pmatrix}$, $R$ как $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ для некоторого $n=1,2,3,...$.

.

Теперь всё хорошо, кажется.

[reterty]

Прошу прощения, что встреваю, но, по-моему плоской группой симметрии эллипса является диэдральная группа $D_2$, изоморфная четверной группе Клейна. Описание ее неприводимых представлений можно найти в http://librams.ru/book-28325.html# стр.366-367

[Slav-27]

reterty
Мне кажется, не за что извиняться, форум как раз и нужен, чтобы можно было встревать.
Это зависит от того, что считать симметриями: если только движения (и если эллипс не окружность), то $D_2$, а если любые линейные преобразования плоскости, сохраняющие эллипс, то $O(2)$.

[reterty]

Slav-27 в сообщении #1552588 писал(а):

reterty
Мне кажется, не за что извиняться, форум как раз и нужен, чтобы можно было встревать.
Это зависит от того, что считать симметриями: если только движения (и если эллипс не окружность), то $D_2$, а если любые линейные преобразования плоскости, сохраняющие эллипс, то $O(2)$

Погодите, точечная группа $O(2)$ как и любая группа $O(n)$ сохраняет неизменной длину вектора. Другими словами, в двумерии ее инвариантом будет $x^2+y^2$. A квадратичная форма $ax^2+by^2$ при $a\neq b$ не есть ее инвариант а является инвариантом группы $D_2$.

[mihaild]

reterty в сообщении #1552599 писал(а):

Погодите, точечная группа $O(2)$ как и любая группа $O(n)$ сохраняет неизменной длину вектора.

Там будет не сама $O(2)$, а сопряженная ей относительно растяжения $x \to \sqrt{b / a}$, но они, естественно, изоморфны.