Исследовать на сходимость ряд

[dima_1985]

Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{1}^{\infty}a_{n}$. Где $a_{n} =\ln \frac{1+ \tg( \frac{1}{\sqrt{n}} ) }{ 1+ \arctg( \frac{1}{\sqrt{n}} ) } $. Решение.
Сделаем замену $t=\frac{1}{\sqrt{n}}$. Проверим необходимые условие сходимости ряда $\lim\limits_{t \to 0} \ln \frac{1+\tg(t)}{1+\arctg(t)} \to 0$ . Вот дальше я не уверен, что так можно делать? Я воспользовался разложением Тейлора. $\ln \frac{1+t+ \frac{t^3}{3}}{ 1+t - \frac{t^3}{3} } $. Далее $ \ln(1+t+\frac{t^3}{3} )-\ln(1+t-\frac{t^3}{3} ) $. Опять Тейлор $t+\frac{t^3}{3} -t+\frac{t^3}{3}= \frac{2t^3}{3}$.Тут по интегральному признаку $\int\limits_{1}^{\infty } \frac{2t^3}{3} dt $ расходится. Я больше склоняюсь к тому, что надо $a_{n} =\ln \frac{1+ \tg( t ) }{ 1+ \arctg( t ) } > b_{n} =\ln \frac{ 1+t+\frac{t^3}{3}+\frac{2t^5}{15} }{ 1+t-\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5} } $.$a_{n}>b_{n}$ так как в $ b_{n}$ уменьшили числитель и увеличили знаменатель. Далее показать, $b_{n}$ расходится и следовательно $a_{n}$ расходится? Подскажите как правильно сделать.

[GAA]

dima_1985 в сообщении #1552461 писал(а):

Опять Тейлор $t+\frac{t^3}{3} -t+\frac{t^3}{3}= \frac{2t^3}{3}$.

У меня получился тот же результат ($ 2t^3/3$), но обоснования немного отличаются. Откуда берётся $t+\frac{t^3}{3} -t+\frac{t^3}{3}$?

dima_1985 в сообщении #1552461 писал(а):

по интегральному признаку $\int\limits_{1}^{\infty } \frac{2t^3}{3} dt $ расходится.

$t \to 0$, поэтому для использования интегрального можно вернуться к исходной переменной.
В целом, использованный подход, на мой взгляд, соответствует упражнению.

[dima_1985]

Нужно больше слагаемых в разложении $\ln(1+x)$ брать ? $t+\frac{t^3}{3} - \frac{(t+\frac{t^3}{3})^2}{2} + \frac{(t+\frac{t^3}{3})^3}{3} -(t - \frac{t^3}{3} - \frac{(t - \frac{t^3}{3})^2}{2} + \frac{(t - \frac{t^3}{3})^3}{3}) =\frac{2t^3}{3} $. Интеграл получится $\int\limits_{1}^{\infty} \frac{2}{3} \frac{1}{n^\frac{3}{2}} dn =\frac{4}{3}$. Ряд сходится ?

[GAA]

Как-то так. А ещё нужно $o(t+t^3/3)^3 = o(t^3)$ и соответственно $o(t-t^3/3)^3 = o(t^3)$ дописывать. Тогда всё становится ясно.

Да, $\frac 2 3 \int_1^{+\infty} \frac {dy} {y^{3/2}}$ сходится. Следовательно, $\sum_1^{\infty} \frac 2 3 \frac 1 {n^{3/2}}$ сходится.

Так как вблизи 0, по крайней мере, $1 + \tg (1/\sqrt n)$ больше или равно $1 + \arctg (1/\sqrt n)$, следовательно выражение под логарифмом больше или равно 1, а потому общий член ряда имеет, по крайней мере при больших $n$, один знак (и общие члены рядов эквивалентны), то ряды $\sum_1^{\infty} \frac 2 3 \frac 1 {n^{3/2}}$ и $\sum_1^{\infty } \ln \frac{ 1+ \tg( \frac 1 {\sqrt n} ) }{ 1+ \arctg( \frac 1 {\sqrt n } ) }$ сходятся или расходятся одновременно.
Следовательно, исходный ряд сходится.