Посчитать ковариацию

[dima_1985]

$(X,Y)$ - координаты случайной точки, имеющие равномерное распределение в области $D=\left\lbrace x+y<1,x>0,y>0\right\rbrace$.Найти ковариацию между $X $ и $Y$.Решение $cov(X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y)$.$M(XY)=\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1-x} yxdy dx =\frac{1}{24} $? $M(X)=\int\limits_{0}^{1}x dx=\frac{1}{2}$,$M(Y)=\int\limits_{0}^{1}y dy=\frac{1}{2}$? В результате $cov(X,Y)=\frac{1}{24}-\frac{1}{4}=-\frac{5}{24}$?

[Null]

Плотность у вашей случайной величины не учли.

[slavav]

$M(X)$, $M(Y)$ посчитаны с ошибкой.

[dima_1985]

Начнём с функции плотности $f_{XY}(x,y)=\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1-x} dydx=\frac{1}{2}$.Отсюда следует $f_{XY}(x,y)= 2 $,при $x+y\leq 1, x \geq 0, y \geq 0$ иначе 0? Я не учёл, что плотность должна равняться 1.$M(X,Y)=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x} 2xy dxdy=\frac{1}{12} $ ?

[Null]

dima_1985 в сообщении #1552282 писал(а):

$f_{XY}(x,y)=\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1-x} dydx=\frac{1}{2}$.Отсюда следует $f_{XY}(x,y)= 2 $

Отсюда следует $\frac{1}{2}= 2$

[dima_1985]

$ \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1-x} f_{XY}(x,y) dxdy=C\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1-x} dydx=1 $. Интеграл $\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1-x} dydx = \frac{1}{2}$.Тогда $C=2$.Тогда $f_{XY}(x,y)=2$ при $x+y \leq 1,x \geq 0,y \geq 0$ ?

[Otta]

dima_1985
Оно да, но матожидания каждой из с.в. Вы считаете неверно, даже с учетом этой поправки.

[dima_1985]

$f_{X}(t)=\int\limits_{0}^{t}\int\limits_{0}^{1}2dydx=2t $ ? $M(X)=\int\limits_{0}^{1}2x^2 dx$ ?

[slavav]

Сосчитайте $M(X)$ по аналогии с $M(XY)$. Начинать нужно с двойного интеграла от функции $x$ (или $2x$ если хотите).

[GAA]

dima_1985 в сообщении #1552338 писал(а):

$f_{X}(t)=\int\limits_{0}^{t}\int\limits_{0}^{1}2dydx=2t $ ?

На мой взгляд, неправильно использованы свойства многомерных плотностей.
У меня получилась другая плотность случайной величины $X$:
$f_X(x) = \int_0^{+\infty}f_{XY}(x,y)dy = \int_0^{1-x}2dy = 2(1-x)$.
Теперь можно вычислить математическое ожидание $X$.
$2\int_0^1 x (1-x) dx=\ldots$.

Но можно таким способом математическое ожидание $X$ не вычислять, как в предыдущем сообщении уже отмечено.