Диффур в частных производных

[MestnyBomzh]

Начал решать задачи на частные производные. Вот нашел две задачи на уравнение колебания струны, могли бы проверить мои решения?

Задача 1

$$\left\{ \begin{array}{rcl} u_{tt}&=&u_{xx}, x \in \mathbb{R}, t > 0 \\ u(x, 0)&=&0 \\ u_t(x, 0) &=& \begin{cases} 2 \cos x,&\text{если $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;}\\ 0,&\text{иначе} \end{cases} \end{array} \right.$$

Необходимо найти: $u(x, \pi)$

Я использую формулу Даламбера:

$$0 +\frac{1}{2} \int\limits_{x-\pi}^{x+\pi} 2 \cos(s) ds$$

Дальше я рассматриваю отдельно пять случаев
1) $x < -\frac{3 \pi}{2}$
2) $-\frac{3 \pi}{2} < x < -\frac{\pi}{2}$
3) $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$
4) $ \frac{\pi}{2} < x < \frac{3 \pi}{2}$
5) $\frac{3 \pi}{2} < x$
Для каждого случая получается свой интеграл, в итоге ответ получается такой:

$$\begin{cases} \sin(x+\pi)+1,&\text{если $-\frac{3 \pi}{2} < x < -\frac{\pi}{2}$;}\\ 2,&\text{если $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$;}\\ 1 - \sin(x-\pi),&\text{если $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3 \pi}{2}$.}\\ 0,& \text{иначе} \end{cases}$$

Задача 2

$$\left\{ \begin{array}{rcl} u_{tt}&=&\frac{1}{16} u_{xx}, x \in \mathbb{R}, t > 0 \\ u(x, 0)&=&4 \cos(3x) \\ u_t(x, 0)& =& 3 \sin(3x)\\ \end{array} \right.$$

Необходимо найти: $u(x, t)$

Опять то же решение Даламбера получаю следующее:

$$ u(x, t) = \frac{4 \cos(3(x-\frac{1}{4}t)) + 4 \cos(3(x+\frac{1}{4}t))}{2} + \frac{1}{2} \int\limits_{x-\frac{1}{4}}^{x+\frac{1}{4}} 3 \sin(3s) ds$$

После всех преобразований получаю:

$$u(x,t)=4 \cos(3x) \cos( \frac{3}{4}t)+\sin(3x) \sin(\frac{3}{4}t)$$

[Pphantom]

По идее, первая проверка - это попытка подставить получившееся в исходное условие. То, что второе условие не выполнено, на мой взгляд, очевидно, то, что не выполнено первое и третье, заметить чуть сложнее, но не намного.

[Red_Herring]

MestnyBomzh в сообщении #1552088 писал(а):

Дальше я рассматриваю отдельно пять случаев

Чтобы понять какие есть случаи на самом деле, надо нарисовать характеристики.

[MestnyBomzh]

Red_Herring в сообщении #1552094 писал(а):

Чтобы понять какие есть случаи на самом деле, надо нарисовать характеристики.

Тут не понял, что это за характеристики?

-- 07.04.2022, 18:23 --

Я нашел опечатку в своей формула Даламбера, я забыл ещё $a$ в знаменателе в константе перед интегралом
Так что во второй задаче ответ получается $4 \cos(\frac{3}{4} (t-4x))$, я уже подставил и проверил
А вот в первой сложнее - там просто так не подставишь, потому что задача найти не $u(x,t)$, а $u(x, \pi)$

[Red_Herring]

MestnyBomzh в сообщении #1552095 писал(а):

Тут не понял, что это за характеристики?

Читайте определения в учебнике.

[artempalkin]

MestnyBomzh в сообщении #1552095 писал(а):

А вот в первой сложнее - там просто так не подставишь, потому что задача найти не $u(x,t)$, а $u(x, \pi)$

Так решите задачу в общем виде и проверьте общее решение.
А потом смело подставляйте $\pi$

-- 08.04.2022, 08:57 --

MestnyBomzh в сообщении #1552088 писал(а):

Я использую формулу Даламбера:

$$0 +\frac{1}{2} \int\limits_{x-\pi}^{x+\pi} 2 \cos(s) ds$$

Если у вас всегда косинус под знаком интеграла, зачем тогда нужно рассматривать несколько случаев?

-- 08.04.2022, 09:03 --

artempalkin в сообщении #1552139 писал(а):

Так решите задачу в общем виде и проверьте общее решение.

Конечно, для любых $t$ будет многовато случаев. Можно рассмотреть $t\leqslant \pi$, получится некоторое общее решение, а случаев будет столько же, сколько и у вас

[MestnyBomzh]

artempalkin в сообщении #1552139 писал(а):

Если у вас всегда косинус под знаком интеграла, зачем тогда нужно рассматривать несколько случаев?

Потому что на самом деле под интгералом не косинус, а функция $\psi (x)$, которая равняется

$$\psi (x) = \begin{cases} 2 \cos x,&\text{если $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;}\\ 0,&\text{иначе} \end{cases} $$

Соответсвенно, пределы у меня $x-\pi, x+ \pi$ могут пересекаться с интервалом $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ по-разному, отсюда я и рассматриваю разные 5 случаев. Кстати про характеристики я почитал, что $x-at=\operatorname{const}, x+at=\operatorname{const}$. В моем случае $x-\pi=\operatorname{const}$ и $x + \pi = \operatorname{const}$, я построил и получил те же самые 5 случаев: https://www.desmos.com/calculator/i9llnrpxun

artempalkin в сообщении #1552139 писал(а):

Конечно, для любых $t$ будет многовато случаев. Можно рассмотреть $t\leqslant \pi$,

А почему все же нельзя делать как я делаю? Я сразу беру $t=\pi$ потому что так требует условие, дальше остается просто один интеграл. Вот можно даже примеры какие-нибудь взять, скажем, $x=0$, тогда пределы будут $[- \pi; \pi]$, что автоматически транформируется в $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Скажем, рассмотрим теперь $x=-\pi$, получим пределы $[-2 \pi;0]$ что трансорфмируется в $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ и попадает под мою формулу $[-\frac{\pi}{2}; \pi+x]$

[artempalkin]

MestnyBomzh в сообщении #1552156 писал(а):

Потому что на самом деле под интгералом не косинус, а функция $\psi (x)$, которая равняется

Я понимаю, но вы пишете не так, а только косинус, что некорректно.

MestnyBomzh в сообщении #1552156 писал(а):

А почему все же нельзя делать как я делаю?

Можно, конечно, но нет обозримых способов проверить ответ. А если найти ответ в общем виде, то работа примерно такая же (если считать $t\leqslant \pi$), можно проверить и подставить в условия, а дальше со спокойной душой подставлять $\pi$. Вы просто писали, что

MestnyBomzh в сообщении #1552095 писал(а):

А вот в первой сложнее - там просто так не подставишь

поэтому я предложил такой вариант