Замечание по теме ВТФ

[dick]

Предположим, что имеются натуральные, взаимно простые числа $x,y,z$, такие что $x^n+y^n=z^n$ (1), где $n$-произвольное натуральное число больше 2.
Поскольку в уравнении (1) два из трех членов нечетные числа, его всегда можно переписать в виде: $x^n=z^n-y^n$ (1.1); где $z,y$ – числа разной четности.
Поскольку $x,y,z$ - взаимно простые числа, искомое решение является наименьшим из возможных, или примитивным.
Тогда, если есть решения для (1.1), они будут удовлетворять уравнению:
$x^n=z^n-y^n=(z-y)(z^{n-1}+yz^{n-2}+y^2z^{n-3}+...+y^{n-2}z+y^{n-1})$ (1.2);
Правая часть (1.2) представляет собой произведение двух чисел(в скобках).
В общем случае, который мы рассматриваем, у двух скобок нет общего множителя. и значит, обе скобки являются степенями с показателем $n$.
Тогда нужно признать, что степень с натуральным основанием и натуральным показателем $x^n$ содержит в своем составе степень $(z-y)$, которая не зависит от показателя степени.
Такой степенью может быть только единица.

[mihaild]

dick в сообщении #1551959 писал(а):

Такой степенью может быть только единица.

То есть пифогоровых троек не существует.

dick в сообщении #1551959 писал(а):

В общем случае, который мы рассматриваем, у двух скобок нет общего множителя

В общем случае у двух скобок может быть общий множитель.

[dick]

Пифагоровы тройки касаются квадратов, или нет?
Может быть поясните, насчет общих множителей?

[mihaild]

dick в сообщении #1551983 писал(а):

Пифагоровы тройки касаются квадратов, или нет?

Квадратов. А вы "доказали", что уравнение имеет решение только при $n = 1$.

dick в сообщении #1551983 писал(а):

Может быть поясните, насчет общих множителей?

А что тут пояснять? Утверждение "у двух скобок нет общего множителя" не доказано, а нужно доказать.
Аналогичное рассуждение:

Цитата:

Уравнение $x = 0$ не имеет решений. Действительно, в общем случае, который мы рассматриваем, $x \neq 0$, и значит левая часть ненулевая, а правая нулевая. QED.

[Andrey A]

dick в сообщении #1551983 писал(а):

Может быть поясните, насчет общих множителей?

$5^3-2^3=(5-2)(5^2+5 \cdot 2+2^2)=3 \cdot 39.$

$\gcd (3,39)=3>1.$

[dick]

mihaild
Разумеется, всякая разность степеней с нечетным показателем, при условии что $x$ делится на $n$, дает в нашем разложении две скобки, имеющие общим множителем этот самый показатель степени. Под общим случаем ВТФ, здесь понималось равенство (1) для всех показателей больше 2.
Поэтому, для того что бы скобки имеющие общий множитель могли быть вариантом общего случая, требуется что бы $z-y$, представляло бы собой произведение всех простых натуральных чисел, что невозможно.

[mihaild]

А, то есть вы пытались доказать, что не существует тройки $x, y, z$ такой что $x^n + y^n = z^n$ для всех $n$. Ну да, не существует, но это не очень интересно.

[dick]

Andrey A
С этим не поспоришь. Но будут ли скобки иметь общий множитель, если оставите на месте Вашу троечку в разложении разности пятых степеней?

[dick]

mihaild
Я хотел показать, что если есть решение ВТФ, общее для всех показателей степени больше 2, то оно возможно только при соседних $z$ и $y$.

[mihaild]

dick в сообщении #1552032 писал(а):

Я хотел показать, что если есть решение ВТФ, общее для всех показателей степени больше 2

Что это за такое? Тройка $x,y,z$, удовлетворяющая $x^n + y^n = z^n$ при любых $n$? Ну такого понятно нет - поделим обе части уравнения на $z$, получим $\left(\frac{x}{z}\right)^n + \left(\frac{y}{z}\right)^n = 1$ - левая часть монотонно убывает по $n$, а правая постоянна, так что равенство достигается максимум при одном значении $n$.

[Andrey A]

dick в сообщении #1552025 писал(а):

... в разложении разности пятых степеней?

$8^5-3^5=(8-3)(...)=5 \cdot 6505.$

[dick]

Andrey A
По Вашему, 8-3 это тройка?
Под общим случаем ВТФ, здесь понималось равенство (1) для всех показателей больше 2. Ведь у всех разностей степеней первая скобка одинакова, верно?

[Andrey A]

dick
Вам даешь наводящую мысль, а Вы незаметно для себя уже взяли позу экзаменатора. Это Ваше дело найти и показать какие возможны общие множители и при каких $n.$ Коль уж выставлено ошибочное утверждение.

[dick]

mihaild
Извините, неудачно высказался. Когда я в первом сообщении писал, что в общем случае две скобки разложения разности степеней не имеют общих множителей, то имел ввиду, что нет общих множителей, неизменных при изменении $n$. А мы рассматриваем общий случай, то есть возможность выполнения (1.1) при любом $n$ больше 2.
Излагая суть темы, можно сказать примерно так:
Если записать (1.1) в развернутом виде (1.2), можно заметить, что первая из двух скобок правой части равенства, неизменна при изменении $n$. Но в случае когда скобки имеют общий множитель первая скобка не может оставаться неизменной при изменении $n$, кроме случая, когда она будет произведением всего множества простых чисел, что невозможно. Поэтому, случай не взаимно простых скобок, противоречит свойству разности степеней. Если же скобки не имеют общего множителя, то являются степенями с показателем $n$, а неизменной по показателю степенью является единица.

[mihaild]

dick в сообщении #1552116 писал(а):

что первая из двух скобок правой части равенства, неизменна при изменении $n$

Так нам никто не обещал, что при изменении $n$ равенство сохранится.
Если вы попробуете, как того требуют правила форума, выписать сначала доказательство для случая $n = 3$, то проблема сразу станет очевидной.