В рациональных числах

[Andrey A]

Заскок в сознании, простите.
Задача: для произвольной пары $p,q>0$ найти тройку квадратов таких, что $\left\{ \begin{array}{rcl} x_1^2-x_2^2&=& p(q-1) \\ x_2^2-x_3^2&=& p-q \\ \end{array} \right.$ .
Решение: $\left\{ \begin{array}{rcl} x_1&=& \frac{p+q-1}{2} \\ x_2&=& \frac{p-q+1}{2} \\ x_3&=& \frac{p-q-1}{2} \\ \end{array} \right.$

Оно общее?

[nnosipov]

Andrey A в сообщении #1551761 писал(а):

Оно общее?

Странный вопрос. Что такое "общее решение"? То, которое годится для любых значений параметров $p$ и $q$?

Возможно, Вы хотели спросить, является ли это решение единственным для данных $p$ и $q$. Ответ на этот вопрос, скорее всего, сложен, ибо сводится к вопросу о рациональных точках некоторой эллиптической кривой, зависящей от $p$ и $q$. Вот пример подобной задачи: для данного рационального $S>0$ решить систему

$$x_1^2-x_2^2=S, \quad x_1^2-x_3^2=-S$$

в рациональных числах $x_1$, $x_2$, $x_3$ (известная задача о конгруэнтных числах).

[Andrey A]

nnosipov в сообщении #1551765 писал(а):

То, которое годится для любых значений параметров $p$ и $q$?

Именно. Для конкретных значений $p,q$ трудно что-либо утверждать заранее, но вопрос именно таков. Проще говоря, можно ли записать другое решение в символах $p,q$ или с участием символов $p,q$?
Правда странно. Но и противоречия в вопросе не вижу.

[nnosipov]

Andrey A в сообщении #1551771 писал(а):

Проще говоря, можно ли записать другое решение в символах $p,q$ или с участием символов $p,q$?

Это философский вопрос (ибо непонятно, что такое "решение в символах $p,q$"). Пример математического вопроса: существует ли другое решение задачи (кроме вышеприведенного) в поле рациональных функций $\mathbb{Q}(p,q)$ (т.е. когда все $x_i \in \mathbb{Q}(p,q)$)? Вместо $\mathbb{Q}(p,q)$ можно взять еще какое-нибудь разумное поле функций от $p$, $q$ и задать аналогичный вопрос. Это Вы хотите узнать?

[Andrey A]

Нет, нет, не будем усложнять. Я хочу знать только одно: если о значениях параметров $p,q$ неизвестно ничего, кроме того что они есть положительные рациональные числа, возможно ли привести пример решения, которое описать предложенными формулами не удается?

[nnosipov]

Andrey A в сообщении #1551776 писал(а):

Нет, нет, не будем усложнять.

Это не усложнение, это формализация (одна из возможных) Вашего вопроса. Без этого непонятно, чего же Вы хотите.

Andrey A в сообщении #1551776 писал(а):

Я хочу знать только одно: если о значениях параметров $p,q$ неизвестно ничего, кроме того что они есть положительные рациональные числа, возможно ли привести пример решения, которое описать предложенными формулами не удается?

То есть, существует ли такая пара $(p,q)$ положительных рациональных чисел, для которой указанная система уравнений имеет решение в рациональных числах $x_i$, которое нельзя получить по приведенным формулам? Я правильно перевел?

[Andrey A]

nnosipov в сообщении #1551780 писал(а):

То есть, существует ли такая пара $(p,q)$ положительных рациональных чисел...

Нет, не так. Понятно что существует, но чтобы получить такое решение, надо знать численные значения $p,q.$ Или не обязательно?

[artempalkin]

Andrey A в сообщении #1551782 писал(а):

Понятно что существует, но чтобы получить такое решение, надо знать численные значения $p,q.$

Чтобы получить ваше решение, тоже нужно знать явно значения $p$ и $q$, т.к. ваше решение от них зависит.
Мне кажется, ваш вопрос однозначно о единственности решения вашей системы в рациональных числах, просто вы почему-то не хотите этого признать :)

[Andrey A]

С позволения всех участников беру паузу. А то мой заскок грозит перейти в нечто большее )

[nnosipov]

Andrey A в сообщении #1551782 писал(а):

Нет, не так.

Ну, в таком случае умываю руки, ибо все естественные версии (формализации) вопроса я перечислил выше. Совет: не уподобляйтесь ферматистам, они часто хотят чего-то странного, а чего --- объяснить не могут.

[Sinoid]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1551788 писал(а):

ферматистам

Это те, которые продолжают доказывать теорему Ферма, что ли? Для них что, специальное название придумали?

[nnosipov]

(Оффтоп)

Да, ферматисты (они же ферматики) --- это устоявшийся термин.

[Sinoid]

(Оффтоп)

nnosipov
Ясно. Спасибо. И охото же им воду в ступе толочь, когда все уже получено.

[mihiv]

Andrey A в сообщении #1551782 писал(а):

Нет, не так. Понятно что существует, но чтобы получить такое решение, надо знать численные значения $p,q.$ Или не обязательно?

Предположим мы не знаем численных значений $p,q$, но знаем, что $p=p_1^2, q=q_1^2, p_1,q_2$- рациональные. Годится ли такое решение :$x_1=\sqrt {pq}, x_2=\sqrt {p}, x_3=\sqrt {q}$?

[nnosipov]

Вполне возможно, что система уравнений имеет бесконечно много решений в рациональных функциях $x_i \in \mathbb{Q}(p,q)$. План проверки следующий.

1. Написать уравнение соответствующей эллиптической кривой и найти на ней рациональную точку, соответствующую известному решению $(x_1,x_2,x_3)$.
2. Перейти к форме Вейерштрасса и на новой кривой удвоить известную рациональную точку, получив тем самым новую рациональную точку.
3. Вернуться к исходной кривой и получить на ней новую рациональную точку.
4. По новой рациональной точке получить новое решение $(x_1',x_2',x_3')$.

План стандартный, но может не сработать в п. 2.