Диффур (нелинейный)

[MestnyBomzh]

Задача Найти значение выражения $y(e^5)$, где $y(x)$ – решение дифференциального уравнения: $y'-4x^{-1} = -x^{-7} e^{2y}$, удовлетворяющее начальному условию: $y(2) = 3 \ln 2$

Методом пристального взгляда я решил попробовать найти решение в виде $y(x) = A \ln (Bx)$. После подстановки и нахождения коэффициентов я получил $A=3, B=2$. Тогда решение получается $y(x) = 3 \ln(x)$ (удовлетворяет условию $y(2)=3 \ln 2$ и окончательный ответ задачи будет $15$

Вопрос Можно ли таким угадыванием (когда я решил искать решение в виде $y(x) = A \ln (Bx)$ утверждать, что я нашел все решения? Как доказать, что больше решений нет?

[artempalkin]

MestnyBomzh в сообщении #1551763 писал(а):

Можно ли таким угадыванием (когда я решил искать решение в виде $y(x) = A \ln (Bx)$ утверждать, что я нашел все решения?

В нелинейном уравнении нельзя. По крайней мере без отдельного доказательства теоремы о единственности.

-- 04.04.2022, 09:22 --

Сделайте замену $z=e^y$ и сведите ДУ к уравнению Бернулли. Вообще, если в ДУ есть $e^y$ это то, с чего стоит начать

[Otta]

MestnyBomzh
Я бы умножила обе части на экспоненту $\exp{(-2y)}$, после чего уравнение, с нужной заменой, спокойно приводится к линейному первого порядка. И угадываний не требуется.

[MestnyBomzh]

У меня еще один вопрос: если бы я еще добавил, что использую теорему о существовании + единственности (тут можно записать в виде $y'=f(x,y)$, то тогда это было бы достаточно для решения задачи?

Тем не менее, я также решил по Вашим советам:

$$e^y=z, z'=e^y \cdot y' \Leftrightarrow \frac{z'}{z}=y'$$

Значит

$$\frac{z'}{z}+x^{-7}z^2=\frac{4}{x} \Leftrightarrow \frac{z'}{z^3}-\frac{4}{x}\cdot \frac{1}{z^2}=-x^{-7} $$

Делаем замену $\frac{1}{z^2}=p, p'=\frac{-2z'}{z^3}$
Получаем

$$-\frac{p'}{2}-\frac{4}{x}p=-x^{-7}$$

Решая линейное ДУ получаем

$$p(x) = x^{-6}+C \cdot x^{-8}$$

Обратные замены дают нам

$$y=4 \ln x -\frac{1}{2} \ln(C+x^2)$$

Далее условие $y(2)=3 \ln 2$ получаем $C=0$ и наконец $y=3 \ln x$

[thething]

MestnyBomzh в сообщении #1551797 писал(а):

если бы я еще добавил, что использую теорему о существовании + единственности

Только единственности, существование Вы уже доказали (решение же обращает уравнение в тождество и удовлетворяет условию). А для единственности проверяется только непрерывность $f$ и $f_y$ в области включающей рассматриваемый отрезок.

[artempalkin]

MestnyBomzh в сообщении #1551797 писал(а):

У меня еще один вопрос: если бы я еще добавил, что использую теорему о существовании + единственности (тут можно записать в виде $y'=f(x,y)$, то тогда это было бы достаточно для решения задачи?

В таком случае, конечно, да. Теорема о единственности решения задачи Коши формулировалась бы в таком случае так: существует единственное решение, проходящее через заданную точку. У вас есть вполне конкретная точка $(2;3\ln 2)$. Через нее проходило бы одно вполне конкретное решение, которое в другой точке имело бы вполне конкретное значение.

-- 04.04.2022, 12:13 --

thething в сообщении #1551802 писал(а):

Только единственности, существование Вы уже доказали (решение же обращает уравнение в тождество и удовлетворяет условию). А для единственности проверяется только непрерывность $f$ и $f_y$ на рассматриваемом отрезке.

С другой стороны в данном случае сам ход решения - это как бы теорема о единственности (преобразования же эквивалентны, если они эквивалентны). Если бы было другое решение, оно бы получилось в ходе этих преобразований.

[thething]

artempalkin в сообщении #1551803 писал(а):

С другой стороны в данном случае сам ход решения - это как бы теорема о единственности

Не в случае решения с угадыванием -- а оно мне тут как раз очень нравится. Вообще, задача поставлена так, что кажется, что решать "по-честному" тут ничего не нужно, и даже непедагогично. Такая задача на смекалку.

[artempalkin]

thething в сообщении #1551804 писал(а):

Не в случае решения с угадыванием

Ну да, я имею в виду последовательное решение, которое указал ТС в последнем сообщении.

thething в сообщении #1551804 писал(а):

Вообще, задача поставлена так, что кажется, что решать "по-честному" тут ничего не нужно, и даже непедагогично.

Эээ, ну, оно может и так, но тогда нужно доказывать теорему о единственности...
А разве липшициевость не нужна в этой теореме? Или это для существования?
Впрочем, липшициевость можно тоже доказать, если нуля нет в исследуемой области.

[thething]

artempalkin в сообщении #1551806 писал(а):

тогда нужно доказывать теорему о единственности

Зачем доказывать, если она уже доказана -- раз и навсегда в общем виде.

artempalkin в сообщении #1551806 писал(а):

А разве липшициевость не нужна в этой теореме? Или это для существования?

Липшицевость по $y$ нужна и для существования и для единственности. Но достаточно хотя бы непрерывной дифференцируемости. Беда только в том, что теорема существования -- локальная (хотя есть ещё теорема о продолжении решения), но, к счастью, существование выводить из теоремы и не нужно.

[MestnyBomzh]

thething в сообщении #1551802 писал(а):

А для единственности проверяется только непрерывность $f$ и $f_y$ в области включающей рассматриваемый отрезок.

То есть нам нужна непрерывность функции+производной только в интересующей нас точке? Даже если либо $f$, либо $f_y$ разрывны в других точках?

[thething]

MestnyBomzh в сообщении #1551956 писал(а):

То есть нам нужна непрерывность функции+производной только в интересующей нас точке?

Вот что заставило Вас сделать такой вывод из этого

thething в сообщении #1551802 писал(а):

непрерывность $f$ и $f_y$ в области включающей рассматриваемый отрезок.

?

[MestnyBomzh]

thething в сообщении #1551965 писал(а):

Вот что заставило Вас сделать такой вывод из этого

Да, я имел в виду непрерывность в области этой точки. Я почему написал "точка" вместо "область": потому что область можно сделать сколь угодно малой и для меня как для обычного обывателя я автоматически написал "точка", потому что в голове устремил область в точку (что, конечно, неверно, область должна оставаться областью).

Скажем, что у нас конечное число точек разрыва функции. Тогда мне достаточно выбрать область так, чтобы она содержала только нашу интересующую точку $(x_0, y_0)$ и проверить непрерывность $f$ и $f_y$ только в этой точке?