Задача на среднее арифметическое

[Vladimir Pliassov]

Пытаюсь доказать одну теорему, и мне кажется, что докажу, если решу следующую задачу.

Пусть $0<\iota_n<\varepsilon<\Delta \;\;\; n=\overline {1,\infty}.$

Доказать, что при достаточно большом $n$

$${\frac {\Delta+\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_n}{n+1}}<\varepsilon.$$

(Все $\iota$ могут быть разными.)

Не мог бы кто-нибудь подсказать решение?

[Dmitriy40]

А чего тут сложного?

$$\frac {\Delta+\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_n}{n+1}=\frac {\Delta}{n+1}+\frac{\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_n}{n+1}<\frac {\Delta}{n+1}+\frac{\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_n}{n}$$

Правая дробь всегда меньше $\varepsilon$, а левую можно сделать сколь угодно малой выбором достаточно большого $n$.
Или тут все буквы имеют какое-то специальное значение (или зависят от величины $n$) и просто так с ними обращаться нельзя?

[Vladimir Pliassov]

Нет, каждая $\iota$ может иметь произвольную величину в пределах $0<\iota<\varepsilon,$ а $\varepsilon $ и $\Delta$ фиксированы.

Спасибо, кажется, понял.

[tolstopuz]

Dmitriy40 в сообщении #1551693 писал(а):

Правая дробь всегда меньше $\varepsilon$, а левую можно сделать сколь угодно малой выбором достаточно большого $n$.

Но это не означает, что их сумма будет меньше $\varepsilon$ хоть при каком-нибудь $n$.

Исходное неравенство можно преобразовать к такому виду:

$$(\varepsilon-\iota_1)+(\varepsilon-\iota_2)+\ldots+(\varepsilon-\iota_n)>\Delta-\varepsilon,$$

и контрпример очевиден - пусть ряд $\sum_{i=1}^{\infty}(\varepsilon-\iota_i)$ сходится к какому-нибудь $A\leq\Delta-\varepsilon$.

Например, $\Delta=2$, $\varepsilon=1$, $\iota_i=1-2^{-i}$.

[Евгений Машеров]

Так теорема неверна. Была бы верна, если бы вместо неравенств для t было бы, например, условие: существует $\delta>0$ такое, что для всех i $\varepsilon-t_i>\delta$

[nnosipov]

Я бы объяснил так. Пусть утверждение верно. При фиксированном достаточно большом $n$ устремим каждое $i_k$ к $\varepsilon$. Тогда получим неравенство $(\Delta+n\varepsilon)/(n+1) \leqslant \varepsilon$, что эквивалентно $\Delta \leqslant \varepsilon$. Однако нам дано противоположное: $\Delta>\varepsilon$.

Мораль: неравенство не может быть верным, если оно не работает в предельных случаях.

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1551710 писал(а):

При фиксированном достаточно большом $n$ устремим каждое $i_k$ к $\varepsilon$.

Что-то как-то не очень... Для любого набора $i_k$ $n$ своё. Не сработает такое доказательство.

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1551729 писал(а):

Что-то как-то не очень...

Так сама формулировка утверждения недостаточно формальна и допускает различные толкования. Я ее понял так, как понял.

[Lia]

Пока ТС не развесит кванторы везде, где нужно, эта двоякость-троякость так и останется.
Кванторы можно и словами.

[Vladimir Pliassov]

Идея такая: если взять достаточно большое конечное число фиксированных $\iota$, то среднее арифметическое этих $\iota$ вместе с $\Delta$ должно быть меньше, чем $\varepsilon$:

$${\frac {\Delta+\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_n}{n+1}}<\varepsilon.$$

($0<\iota_n<\varepsilon<\Delta.$)

Я думаю, здесь важно, что йоты фиксированы. То есть каждая $\iota$ фиксирована, она не может стремиться к $\varepsilon$ и все нам портить.

То есть, как тут и сказано:

Dmitriy40 в сообщении #1551693 писал(а):

$$\frac {\Delta+\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_n}{n+1}=\frac {\Delta}{n+1}+\frac{\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_n}{n+1}<\frac {\Delta}{n+1}+\frac{\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_n}{n}$$

Правая дробь всегда меньше $\varepsilon$, а левую можно сделать сколь угодно малой выбором достаточно большого $n$.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1551752 писал(а):

Идея такая: если взять достаточно большое конечное число фиксированных $\iota$, то среднее арифметическое этих $\iota$ вместе с $\Delta$ должно быть меньше, чем $\varepsilon$:

$${\frac {\Delta+\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_n}{n+1}}<\varepsilon.$$

($0<\iota_n<\varepsilon<\Delta.$)

Повторяю: при $\Delta=2$, $\varepsilon=1$, $\iota_i=1-2^{-i}$ такого $n$ не существует.

[Dmitriy40]

Vladimir Pliassov
Да, я был не прав.

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1551752 писал(а):

Я думаю, здесь важно, что йоты фиксированы. То есть каждая $\iota$ фиксирована, она не может стремиться к $\varepsilon$ и все нам портить.

Окей, пусть так. В итоге имеем следующее утверждение.

Даны числа $\varepsilon$ и $\Delta$, причем $0<\varepsilon<\Delta$; также дана последовательность $i_n$ ($n=1,2,\dots$), удовлетворяющая условию: $0<i_n<\varepsilon$ для всех $n$. Утверждается, что выполнено указанное неравенство для всех достаточно больших $n$.

Это утверждение также неверно, а именно: для любых данных $\varepsilon$ и $\Delta$ существует контрпример (такая последовательность $i_n$, для которой утверждение неверно). Этот контрпример довольно очевиден.

[Евгений Машеров]

Ну и что, что фиксированы? Что мешает фиксированному набору чисел совпадать с членами некоего сходящегося ряда?
Чтобы гарантировать, что выражение меньше эпсилона, недостаточно того, чтобы эти числа каждое было меньше эпсилона, надо, чтобы существовала некая дельта меньше эпсилона, и они были все меньше этой дельты.
существует $\delta>0$ такое, что для всех i $\varepsilon-t_i>\delta$

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1551757 писал(а):

Этот контрпример довольно очевиден.

Ну да, вот tolstopuz его привел :)
Его пример все же не бесконечно очевиден, а результат некоторых размышлений над содержанием задачи.
Или есть прямо-таки очевидный пример?